Step1. 基礎編
26. 相関分析

26-3. 相関係数

直線的な相関関係の強さを表す指標の一つに「相関係数（ピアソンの積率相関係数）」があります。2つの要素xとyからなるn個のデータ（ $x_{i}$ , $y_{i}$ : i=1, 2,…, n）が得られたとき、その相関係数 $r_{xy}$ は次の式から算出されます。

$\displaystyle r_{xy}=\frac{\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\overline{x})^{2}} \times \sqrt{\displaystyle\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_{i}-\overline{y})^{2}}}$

この式の分母はx、yそれぞれの標準偏差の積になっています。また、分子はxとyの「共分散」です。

共分散は、xとyそれぞれの平均値に対する、xとyのペアの値の散らばり方を表すものです。例えば、 $x_{1}-\overline{x}$ と $y_{1}-\overline{y}$ が共に正もしくは負である場合、 $(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})>0$ となります。一方、 $x_{1}-\overline{x}$ と $y_{1}-\overline{y}$ が正と負もしくは負と正である場合、 $(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})<0$ となります。この $(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})$ の平均値が共分散なので、共分散が正→xとyのペアの値が共に正もしくは負→相関係数が正の値となります。

相関係数ｒには次のような特徴があります。

rは-1から1までのいずれかの値をとる
|r|が1に近いほど相関が強く、0に近いほど相関が弱い
|r|が0に近くても、何らかの関係がある場合がある
rは単位を持たない値であり、データの単位がどのようなものであっても計算できる

いくつかの散布図とその相関係数を見てみます。相関係数は上から順に「-0.88」「0.50」「-0.30」です。

次の散布図では相関係数は0.16とあまり高くありませんが、プロットを見てみると放物線を描いておりyはxの二次関数で表すことができそうです。

相関係数は2つの要素の直線的な相関関係の強弱を表すものであり、線形ではない相関関係の強弱は正しく表すことができません。したがって、相関係数rが0に近い場合でも、いきなり「相関なし/相関が弱い」と判断せずにまずはプロットしたグラフを確認してみてください。xとyの間に何らかの関係がある場合に目視で捉えることができます。

■無相関の検定

標本から算出した相関係数を使って、母集団の相関係数が0かどうかを検定することを無相関の検定といいます。標本では相関がある場合に、母集団でも同様に相関があるかどうかを確認できます。帰無仮説は「母相関係数は0（無相関）である」です。

無相関の検定はt分布を用いて行います。次の式から算出される統計量tは自由度n-2のt分布に従います。rは標本から算出した相関係数、nはサンプルサイズを表します。

$\displaystyle t=\frac{|r|\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$

帰無仮説 $H_0$ が棄却された場合、「母相関係数は0ではない」すなわち、「2つの要素間で相関関係がある」と結論付けられます。

■母相関係数の信頼区間

母相関係数の信頼区間を求めるためには、まず次の式を用いて標本から算出した相関係数rを変換します。この変換を「フィッシャーのz変換」といいます。

$\displaystyle z=\frac{1}{2}\log\frac{1+r}{1-r}$

同様に、母相関係数 $\rho$ をz変換したものを $\zeta$ とします。

$\displaystyle \zeta=\frac{1}{2}\log\frac{1+\rho}{1-\rho}$

zはサンプルサイズnが大きい時には、平均 $\zeta$ 、分散 $\displaystyle \frac{1}{n-3}$ の正規分布 $N(\zeta, \displaystyle \frac{1}{n-3})$ に従います。これらを用いてzを標準化すると次のようになります。

$\displaystyle \frac{z-\zeta}{\sqrt{\frac{1}{n-3}}}=\sqrt{n-3}(z-\zeta)$

この値が標準正規分布N(0,1)に従うことから、 $(100(1-\alpha)\%)$ 信頼区間は次のようになります。ただし、 $z_{\frac{\alpha}{2}}$ は標準正規分布における上側確率が $\displaystyle \frac{\alpha}{2}$ となる値（z値）を表します。