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  • Step1. 初級編
  • 17. 大数の法則と中心極限定理

17-4. 中心極限定理2

中心極限定理は、平均μ、分散\sigma ^{2}に従う母集団からサンプルサイズnの標本を抽出する時、その平均値xの分布はnが大きくなるにつれて正規分布N(μ, \sigma ^{2}/n)に近づくというものです。このxを標準化した値z

 \displaystyle Z=\frac{ \overline{x}-\mu }{\frac{\sigma}{ \sqrt{n} }}

の分布はnが大きくなるにつれて、標準正規分布N(0, 1)に近づきます。

図1

中心極限定理を元にすると、サンプルサイズが大きいほど標本平均は母平均に、さらに標本分散(=標本の分散)は母分散(=母集団の分散)の1/n倍の値に近づきます。標本分散は母分散の1/n倍になるので、サンプルサイズが大きいほど分散(ばらつき)は小さくなります。これは、サンプルサイズが大きいほどその標本平均のばらつきが小さくなり、標本平均が母平均のより近くに集まる(平均値をより正確に推測できる)ということを表しています。

さいころを5回、および200回投げて出る目の平均値を計算するという実験を1000件行った結果が下のヒストグラムです。さいころを200回投げた場合のほうが、標本のばらつきが小さいということが分かります。

図2

図3

17. 大数の法則と中心極限定理