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  • Step1. 初級編
  • 17. 大数の法則と中心極限定理

17-4. 中心極限定理2

中心極限定理は、平均\mu分散\sigma ^{2}に従う母集団からサンプルサイズn標本抽出する場合、その平均値\overline{x}の分布はnが大きくなるにつれて正規分布N(\mu, \sigma ^{2}/n)に近づくというものです。

中心極限定理を元にすると、サンプルサイズが大きいほど標本平均は母平均に、さらに標本分散(=標本の分散)は母分散(=母集団の分散)の\displaystyle \frac{1}{n}倍の値に近づきます。これは、サンプルサイズが大きいほどその標本平均のばらつきが小さくなり、標本平均が母平均のより近くに集まる(平均値をより正確に推測できる)ことを表しています。

さいころを5回、および200回投げて出る目の平均値を計算するという実験を1000件行った結果が次のヒストグラムです。さいころを200回投げた場合のほうが、標本平均のばらつきが小さいことが分かります。

図2

図3

また、平均\mu、分散\sigma^{2}に従う母集団からサンプルサイズnの標本を抽出した場合の平均値\overline{x}について、標準化をおこなった値z

 \displaystyle z=\frac{ \overline{x}-\mu }{\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}}=\frac{ \overline{x}-\mu }{\frac{\sigma}{ \sqrt{n} }}

の分布はサンプルサイズが大きくなるにつれて、標準正規分布N(0,1)に近づきます。

図1

17. 大数の法則と中心極限定理

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -