BellCurveの統計解析ソフトエクセル統計

Step1. 基礎編
14. いろいろな確率分布2

14-2. 正規分布の再生性と標準正規分布

■正規分布の再生性

正規分布 $N(\mu_{1}, {\sigma_{1}}^{2})$ に従うあるデータと、そのデータとは独立な正規分布 $N(\mu_{2}, {\sigma_2}^{2})$ に従うデータを足したデータは、正規分布 $N(\mu_{1}+\mu_{2}, \sigma_{1}}^{2}+\sigma_{2}}^{2})$ に従います。これを正規分布の再生性といいます。

例えば、あるクラスの数学と国語のテストの結果は次の通りでした。

数学　平均点 $\mu_{1}$ ： $60$ 点　標準偏差 $\sigma_{1}$ ： $4$ 点
国語　平均点 $\mu_{2}$ ： $40$ 点　標準偏差 $\sigma_{2}$ ： $5$ 点

このクラスの数学および国語の点数はそれぞれ異なる（独立な）正規分布に従うとき、数学と国語の点数を足した点数は、平均が $\mu_{1}+\mu_{2}=60+40=100$ 、分散が ${\sigma_1}^{2}+{\sigma_2}^{2}=4^2+5^2=41$ の正規分布 $N(100, 41)$ に従います。

■標準正規分布

正規分布の中で、特に「平均 $\mu=0$ 、分散 $\sigma^{2}=1$ 」である正規分布を「標準正規分布」といいます。確率変数 $X$ が標準正規分布に従う時、 $X\sim N(0,1)$ と書きます。

正規分布に従う確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ の式は14-1章で既に学びました。この式に「 $\mu=0$ 、 $\sigma^{2}=1$ 」を代入すると、次のようになります。

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\times 1}e^{-\frac{(x-0)^{2}}{2\times 1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}~~~(-\infty<x<\infty)$

したがって、標準正規分布に従う確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ は次式で表せます。

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}~~~(-\infty<x<\infty)$

あるいは「 $exp$ 」を使うと次のように表すこともできます。

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp\left(-\frac{x^{2}}{2}}\right)~~~(-\infty<x<\infty)$

次のグラフは標準正規分布を表したものです。平均 $\mu=0$ であることから、分布の山頂にあたる $x$ 軸座標の値は「 $0$ 」です。

14. いろいろな確率分布2

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事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -

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6. 分散と標準偏差
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14. いろいろな確率分布2
14-1. 正規分布
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