Step1. 基礎編
20. 母平均の区間推定（母分散未知）

20-3. 母平均の信頼区間の求め方（母分散未知）

ある工場では、生産している部品Aを1時間毎にランダムに1つ抜き取り、その重さを検査しています。計10個の部品Aの重さを測定した結果、次のようなデータが得られました。ただし、母分散（すべての部品Aの重さから算出した分散）は分かっていません。また、部品Aの重さは正規分布に従うものとします。このデータから母平均の95%信頼区間を求めてみます。

No.	部品Aの重さ (g)
1	100.2
2	101.5
3	98.0
4	100.1
5	100.9
6	99.6
7	98.6
8	102.1
9	101.4
10	97.9

標本平均 $\overline{x}$ と不偏分散 $s^{2}$ を求める

抽出した標本の平均値は、 $\overline{x}$ =100.03となります。また、不偏分散は次の式より $s^{2}$ =2.22となります。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle s^{2}&=&\frac{1}{10-1}\big\{(100.2-100.03)^{2}+(101.5-100.03)^{2}+\cdots+(97.9-100.03)^{2}\big\}\\&=&2.22 \end{eqnarray*}$

統計量tを計算する

母集団の平均である母平均を $\mu$ 、不偏分散を $s^{2}$ 、抽出したサンプルサイズをnとすると、次の式から統計量tを求められます。

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}}$

2で算出された統計量tがt分布の95%の面積（＝確率）の範囲にあればよい（＝両端の2.5%の面積の部分の極端な範囲に入らなければよい）ので、t分布表から上側2.5%点を調べる（自由度はn-1=10-1=9）

	α
v	0.1	0.05	0.025	0.01	0.005
1	3.078	6.314	12.706	31.821	63.657
2	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925
3	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841
4	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604
5	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032
6	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707
7	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499
8	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355
9	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250
10	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169

t分布表において上側2.5%点は「2.262」であることから、統計量tの範囲を次のように書けます。

$\displaystyle -2.262 \leq \frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}} \leq 2.262$

95%信頼区間を求める

3の式を $\mu$ について変形します。

$\displaystyle \overline{x}-2.262 \times \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \leq \mu \leq \overline{x}+2.262 \times \sqrt{\frac{s^{2}}{n}}$

この式を用いることで、母分散が分からない時の母平均μの95%信頼区間を求められます。工場の抜き取り検査のデータに当てはめると、

$\displaystyle 100.03-2.262 \times \sqrt{\frac{2.22}{10}} \leq \mu \leq 100.03+2.262 \times \sqrt{\frac{2.22}{10}}$

となるので、計算すると次のようになります。

$\displaystyle 98.96 \leq \mu \leq 101.10$

【まとめ】母平均の信頼区間（母分散未知）

母分散が分からない場合、母集団の平均を $\mu$ 、標本平均を $\overline{x}$ 、不偏分散を $s^{2}$ 、抽出したサンプルサイズをn、信頼係数を $(1-\alpha)(=100(1-\alpha)\%)$ とすると、次の式から母平均 $\mu$ の $(100(1-\alpha))\%$ 信頼区間を求めることができる。ただし、「 $t_{\alpha/2}(n-1)$ 」は「自由度が $(n-1)$ 」のt分布における上側確率が $\displaystyle \frac{\alpha}{2}$ となる値（t値）を示す。

$\displaystyle \overline{x}-t_{\alpha/2}(n-1) \times \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \leq \mu \leq \overline{x}+t_{\alpha/2}(n-1) \times \sqrt{\frac{s^{2}}{n}}$