Step1. 基礎編
19. 母平均の区間推定（母分散既知）

19-2. 母平均の信頼区間の求め方（母分散既知）

2015年12月末時点の各都道府県内にある映画館のスクリーンの合計数の区間推定を行ってみます。47都道府県全てのデータを調べるのは面倒なので、無作為に10都道府県のデータを抽出しました。次の表が抽出したデータです。ただし、母分散（47都道府県にある映画館の合計スクリーン数の分散）は $\sigma^{2}$ =5560であることが分かっており、スクリーン数の分布は正規分布に従うものとします。このデータから「母平均の95%信頼区間」を求めてみます。

No.	都道府県	全スクリーン数
1	兵庫	126
2	大阪	224
3	奈良	34
4	岩手	25
5	千葉	199
6	茨城	89
7	福岡	178
8	山梨	14
9	滋賀	38
10	鳥取	11

母平均の信頼区間は次の1～4に従って算出します。

標本平均 $\overline{x}$ を求める

これは抽出した標本の平均値を求めるだけです。この例題の場合、 $\overline{x}$ =93.8となります。

標本平均の標準化を行う

母平均を $\mu$ 、母分散を $\sigma^{2}$ 、抽出したサンプルサイズをnとすると、次の式から標本平均を標準化できます。

$\displaystyle \frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}}$

中心極限定理は、平均 $\mu$ 、分散 $\sigma^{2}$ に従う母集団からサンプルサイズnの標本を抽出する時、その平均値 $\overline{x}$ の分布はnが大きくなるにつれて正規分布 $N(\mu, \sigma^{2}/n)$ に近づくというものであることは、17‐4章で既に学びました。母平均の信頼区間の算出にはこの中心極限定理を利用します。標本平均を標準化する理由は、標準正規分布を利用するためです。

2で標準化した値が標準正規分布の95%の面積（＝確率）の範囲にあればよい（＝両端の2.5%の面積の部分の極端な範囲に入らなければよい）ので、標準正規分布表から上側2.5%点を調べる

標準正規分布において、ある値より大きな値をとる確率が2.5%となるとき、このある値のことを「上側2.5%点」といいます。標準正規分布表（次表）から、上側2.5%点となる値（z）を探します。

	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
0	0.500	0.496	0.492	0.488	0.484	0.480	0.476	0.472	0.468	0.464
0.1	0.460	0.456	0.452	0.448	0.444	0.440	0.436	0.433	0.429	0.425
0.2	0.421	0.417	0.413	0.409	0.405	0.401	0.397	0.394	0.390	0.386
0.3	0.382	0.378	0.374	0.371	0.367	0.363	0.359	0.356	0.352	0.348
0.4	0.345	0.341	0.337	0.334	0.330	0.326	0.323	0.319	0.316	0.312
0.5	0.309	0.305	0.302	0.298	0.295	0.291	0.288	0.284	0.281	0.278
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
1.6	0.055	0.054	0.053	0.052	0.051	0.049	0.048	0.047	0.046	0.046
1.7	0.045	0.044	0.043	0.042	0.041	0.040	0.039	0.038	0.038	0.037
1.8	0.036	0.035	0.034	0.034	0.033	0.032	0.031	0.031	0.030	0.029
1.9	0.029	0.028	0.027	0.027	0.026	0.026	0.025	0.024	0.024	0.023
2	0.023	0.022	0.022	0.021	0.021	0.020	0.020	0.019	0.019	0.018

上の表の紫色セルで示した値が「0.025」です。また、この値をとるのは赤色セルと青色セルから「z=1.96」であることが分かります。したがって、標準正規分布表において上側2.5%点は「1.96」であり、負の数である「-1.96」以下の値をとる確率も2.5%となります（標準正規分布は平均値であるx=0において左右対称であるため）。したがって、標準化した値の範囲は次のように書けます。この「1.96」という値は今後もよく出てくるので覚えておくと便利です。

$\displaystyle -1.96 \leq \frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}} \leq 1.96$

95%信頼区間を求める

3の式を $\mu$ について変形します。

$\displaystyle \overline{x}-1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}} \leq \mu \leq \overline{x}+1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}$

この式を用いることで、母分散がわかっている時の母平均 $\mu$ の95%信頼区間を求められます。合計スクリーン数のデータに当てはめると、

$\displaystyle 93.8-1.96 \times \sqrt{\frac{5560}{10}} \leq \mu \leq 93.8+1.96 \times \sqrt{\frac{5560}{10}}$

となるので、計算すると次のようになります。

$\displaystyle 47.6 \leq \mu \leq 140.0$

【まとめ】母平均の信頼区間（母分散既知）

標本平均を $\overline{x}$ 、母集団の平均を $\mu$ 、母分散を $\sigma^{2}$ 、抽出したサンプルサイズをnとすると、次の式から母平均 $\mu$ の95%信頼区間を求めることができる。

$\displaystyle \overline{x}-1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}} \leq \mu \leq \overline{x}+1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}$

また、一般化して信頼係数 $\alpha$ （＝100 $\alpha$ ％）の場合には、標準正規分布の上側確率を用いて次のように表すことができる。 $\displaystyle z_{\frac{1-\alpha}{2}}$ は標準正規分布表の上側確率が $\displaystyle \frac{1-\alpha}{2}$ となる値（z値）を表す。

$\displaystyle \overline{x}-z_{\frac{1-\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}} \leq \mu \leq \overline{x}+z_{\frac{1-\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}$