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  • 19. 母平均の区間推定(母分散既知)

練習問題(19. 母平均の区間推定(母分散既知))

1

日本人男性100人をランダムに選んで身長を測定したところ、平均値は172cmであった。日本人男性の平均身長の95%信頼区間を求めよ。 ただし、日本人男性の身長の母分散は\sigma^2=5.5^2であるとし、日本人男性の身長は正規分布に従うものとする。

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標準正規分布における上側2.5%点は1.96であることから、信頼区間は次のようになります。

 \displaystyle 172-1.96 \times \sqrt{\frac{5.5^2}{100}} \leq \mu \leq 172+1.96 \times \sqrt{\frac{5.5^2}{100}}
 \displaystyle 170.9 \leq \mu \leq 173.1

2

日本人男性100人をランダムに選んで体重を測定したところ、平均値は67kgであった。日本人男性の平均体重の90%信頼区間を求めよ。 ただし、日本人男性の体重の母分散は\sigma^2=9.0^2であるとし、日本人男性の体重は正規分布に従うものとする。

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標準正規分布における上側5%点は1.64であることから、信頼区間は次のようになります。

 \displaystyle 67-1.64 \times \sqrt{\frac{9.0^2}{100}} \leq \mu \leq 67+1.64 \times \sqrt{\frac{9.0^2}{100}}
 \displaystyle 65.5 \leq \mu \leq 68.5

3

日本人女性400人をランダムに選んで身長を測定したところ、平均値は158cmであった。平均身長の95%信頼区間を求めよ。 ただし、日本人女性の身長の母分散は\sigma^2={5.3}^2であるとし、日本人女性の身長は正規分布に従うものとする。

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標準正規分布における上側2.5%点は1.96であることから、信頼区間は次のようになります。

 \displaystyle 158-1.96 \times \sqrt{\frac{5.3^2}{400}} \leq \mu \leq 158+1.96 \times \sqrt{\frac{5.3^2}{400}}
 \displaystyle 157.5 \leq \mu \leq 158.5

4

日本人女性100人をランダムに選んで体重を測定したところ、平均値は49kgであった。日本人女性の平均体重の99%信頼区間を求めよ。 ただし、日本人女性の体重の母分散は\sigma^2=6.0^2であるとし、日本人女性の体重は正規分布に従うものとする。

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標準正規分布における上側0.5%点は2.58であることから、信頼区間は次のようになります。

 \displaystyle 49-2.58 \times \sqrt{\frac{6.0^2}{100}} \leq \mu \leq 49+2.58 \times \sqrt{\frac{6.0^2}{100}}
 \displaystyle 47.5 \leq \mu \leq 50.5

5

区間推定について述べられた文章のうち、正しいものを選べ。

  1. 信頼係数は自由に設定してよい
  2. 標本から推定された母平均の95%信頼区間の中には、95%の確率で母平均が含まれている
  3. 信頼係数が小さいほど、信頼区間の幅は広くなる
  4. サンプルサイズと信頼区間には全く関係がない

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  1. ◯:正しいです。信頼係数は自由に設定することができます。一般的には90%、95%、99%が使われます。
  2. ×:母平均の95%信頼区間は「母集団から標本を取ってきて、その平均から95%信頼区間を求める、という作業を100回やったときに、95回はその区間の中に母平均が含まれる」と解釈できます。
  3. ×:信頼係数が小さいほど、信頼区間の幅は狭くなります。
  4. ×:サンプルサイズが大きいほど、信頼区間の幅は狭くなります。

19. 母平均の区間推定(母分散既知)