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  • Step1. 初級編
  • 19. 母平均の区間推定(母分散既知)

19-4. さまざまな信頼区間(母分散既知)

各都道府県にある映画館の合計スクリーン数のデータから、次の表のようにランダムに10都道府県のデータを抽出しました。このデータを用いて、信頼係数をさまざまに変化させた場合の信頼区間を比較してみます。ただし、このデータでは母分散が\sigma^{2}=5560であることが分かっており、スクリーン数の分布は正規分布に従うものとします。

No. 都道府県 全スクリーン数
1 兵庫 126
2 大阪 224
3 奈良 34
4 岩手 25
5 千葉 199
6 茨城 89
7 福岡 178
8 山梨 14
9 滋賀 38
10 鳥取 11
平均 93.8

■信頼係数による信頼区間

  • 信頼係数90%のとき
  • 標準正規分布において上側5%点は「1.64」であることから、次のようになります。

     \displaystyle 93.8-1.64 \times \sqrt{\frac{5560}{10}} \leq \mu \leq 93.8+1.64 \times \sqrt{\frac{5560}{10}}
     \displaystyle 55.1 \leq \mu \leq 132.5
  • 信頼係数95%のとき
  • 標準正規分布において上側2.5%点は「1.96」であることから、次のようになります。

     \displaystyle 93.8-1.96 \times \sqrt{\frac{5560}{10}} \leq \mu \leq 93.8+1.96 \times \sqrt{\frac{5560}{10}}
     \displaystyle 47.6 \leq \mu \leq 140.0
  • 信頼係数99%のとき
  • 標準正規分布において上側0.5%点は「2.58」であることから、次のようになります。

     \displaystyle 93.8-2.58 \times \sqrt{\frac{5560}{10}} \leq \mu \leq 93.8+2.58 \times \sqrt{\frac{5560}{10}}
     \displaystyle 33.0 \leq \mu \leq 154.6

ここまでの結果をまとめると次の表のようになります。この結果から、信頼係数が大きいほど、信頼区間の幅は広くなることが分かります。

信頼係数 信頼区間
90% 55.1 \leq \mu \leq 132.5
95% 47.6 \leq \mu \leq 140.0
99% 33.0 \leq \mu \leq 154.6

■サンプルサイズによる信頼区間

同じデータを用いて、サンプルサイズを変化させた場合の信頼区間も比較してみます。信頼係数は95%とします。

  • サンプルサイズが10のとき
  •  \displaystyle 93.8-1.96 \times \sqrt{\frac{5560}{10}} \leq \mu \leq 93.8+1.96 \times \sqrt{\frac{5560}{10}}
     \displaystyle 47.6 \leq \mu \leq 140.0
  • サンプルサイズが100のとき
  •  \displaystyle 93.8-1.96 \times \sqrt{\frac{5560}{100}} \leq \mu \leq 93.8+1.96 \times \sqrt{\frac{5560}{100}}
     \displaystyle 79.2 \leq \mu \leq 108.4
  • サンプルサイズが1000のとき
  •  \displaystyle 93.8-1.96 \times \sqrt{\frac{5560}{1000}} \leq \mu \leq 93.8+1.96 \times \sqrt{\frac{5560}{1000}}
     \displaystyle 89.2 \leq \mu \leq 98.4

ここまでの結果をまとめると次の表のようになります。この結果から、サンプルサイズnが大きいほど、信頼区間の幅は狭くなることが分かります。

サンプルサイズ 信頼区間
10 47.6 \leq \mu \leq 140.0
100 79.2 \leq \mu \leq 108.4
1000 89.2 \leq \mu \leq 98.4

19. 母平均の区間推定(母分散既知)

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