BellCurve 統計WEB

  • 20. 母平均の区間推定(母分散未知)

練習問題(20. 母平均の区間推定(母分散未知))

1

男性10人をランダムに呼び出し身長を測定したところ、平均値は172cm、分散は6^2 cm^2、不偏分散は6.5^2 cm^2であった。このとき、男性の平均身長の95%信頼区間を求める式として正しいものを次の1~4の中から選べ。 ただし、男性の身長は母平均と母分散がともに未知の正規分布に従うとする。

  1.  \displaystyle 172-t_{0.025}(10) \times \sqrt{\frac{6.5^{2}}{10}} \leq \mu  \leq 172+t_{0.025}(10) \times \sqrt{\frac{6.5^{2}}{10}}
  2.  \displaystyle 172-t_{0.025}(9) \times \sqrt{\frac{6^{2}}{10}} \leq \mu  \leq 172+t_{0.025}(9) \times \sqrt{\frac{6^{2}}{10}}
  3.  \displaystyle 172-t_{0.025}(9) \times \sqrt{\frac{6.5^{2}}{10}} \leq \mu  \leq 172+t_{0.025}(9) \times \sqrt{\frac{6.5^{2}}{10}}
  4.  \displaystyle 172-t_{0.025}(9) \times \sqrt{\frac{6.5^{2}}{9}} \leq \mu  \leq 172+t_{0.025}(9) \times \sqrt{\frac{6.5^{2}}{9}}

答えを見る

答え:3閉じる閉じる

母分散が分からない場合の母平均の信頼区間は、次のようになります。

 \displaystyle \overline{x}-t_{\alpha/2}(n-1) \times \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \leq \mu  \leq \overline{x}+t_{\alpha/2}(n-1) \times \sqrt{\frac{s^{2}}{n}}

この問題ではサンプルサイズが10で不偏分散は6.5^2であることから、n=10s^2=6.5^2となります。t分布の自由度は10-1=9となることに注意すると、3が正しい答えとなります。

2

男性10人の朝6時と夜22時に身長を測定した合計20個のデータを得た。このとき、朝6時における身長と夜22時における身長の差の平均値の95%信頼区間を求める場合に使用するt分布の自由度を求めよ。 ただし、男性の身長は母平均と母分散がともに未知の正規分布に従うとする。

答えを見る

答え:9閉じる閉じる

このデータは、同じ男性10人に対してそれぞれ朝と夜にデータを測定しているため、「対応があるデータ」となります。この場合、データとしては20個ありますが、サンプルサイズは10となることに注意すると、使用するt分布の自由度は9となります。

3

関東地方の男性10人と関西地方の男性30人をサンプリングし、関東と関西の身長の母平均の差の信頼区間を計算したい。二地方の男性の身長の分散と不偏分散が次の表の値で与えられたとき、プールした分散を求める式として正しいものを次の1~4の中から選べ。 ただし、それぞれの地方における男性の身長は、母分散は等しい正規分布に従うものとする。

地方 関東地方 関西地方
分散 60 65
不偏分散 66.7 67.2
サンプルサイズ 10 30
  1.  \displaystyle \frac{10 \times 66.7 +30 \times 67.2}{10+30-2}
  2.  \displaystyle \frac{(10-1) \times 66.7 +(30-1) \times 67.2}{10+30}
  3.  \displaystyle \frac{(10-1) \times 60 +(30-1) \times 65}{10+30-2}
  4.  \displaystyle \frac{(10-1) \times 66.7 +(30-1) \times 67.2}{10+30-2}

答えを見る

答え:4閉じる閉じる

プールした分散s_{p}^2は、次のように求めることができます。

 \displaystyle s_{p}^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}

この問題ではサンプルサイズがそれぞれn_{1}=10n_{2}=30で不偏分散はs_{1}=66.7s_{2}=67.2であることから、4が正しい答えとなります。

20. 母平均の区間推定(母分散未知)