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  • Step1. 初級編
  • 21. 母比率の区間推定

21-2. 母比率の信頼区間の求め方2

例題1:

テレビ番組の視聴に関する街頭アンケートを行いました。100人にアンケートを行った結果、A番組を見ている人は10%でした。A番組の視聴率の95%信頼区間はいくらでしょうか。

A番組を見たA番組を見ていない
人数10人90人
割合10%90%

この問題ではサンプルサイズは100人なので、n=100です。また、A番組の視聴率pの推定値\widehat{p}は、\widehat{p}=10%=0.1となります。これらの値を区間推定の式に代入します。

 \displaystyle \widehat{p}-1.96 \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}} \leq p \leq \widehat{p} + 1.96 \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}
 \displaystyle 0.1-1.96 \times \sqrt{\frac{0.1(1-0.1)}{100}} \leq p \leq 0.1 + 1.96 \times \sqrt{\frac{0.1(1-0.1)}{100}}
 \displaystyle 0.041 \leq p \leq 0.159

以上の計算から、A番組の視聴率pの95%信頼区間は4.1%から15.9%であると求められました。ちなみに、A番組を見ていない人の割合p'=1-pの95%信頼区間は次のように求められます。\widehat{p'}=1-\widehat{p}=90%=0.9です。

 \displaystyle 0.9-1.96 \times \sqrt{\frac{0.9(1-0.9)}{100}} \leq p \leq 0.9 + 1.96 \times \sqrt{\frac{0.9(1-0.9)}{100}}
 \displaystyle 0.841 \leq p \leq 0.959

この式から分かるように「A番組の視聴率pの95%信頼区間の幅」と「A番組を見ていない人の割合p'の信頼区間の幅」は等しくなります。

例題2:

無作為に抽出した男性400人に対して新製品のお菓子を食べてもらい、「おいしかった」か「おいしくなかった」かのいずれかを回答してもらいました。その結果、160人が「おいしかった」と回答しました。全国の男性のうち、このお菓子を「おいしい」と評価する割合の95%信頼区間はいくらでしょうか。

おいしかったおいしくなかった
人数160人240人
割合25%75%

この問題ではサンプルサイズは400人なので、n=400です。また、160人が「おいしかった」と評価したので、男性のうちこのお菓子を「おいしい」と評価する割合pの推定値\widehat{p}は、\displaystyle\widehat{p}=\frac{160}{400}=0.25となります。これらの値を区間推定の式に代入します。

 \displaystyle \widehat{p}-1.96 \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}} \leq p \leq \widehat{p} + 1.96 \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}
 \displaystyle 0.25-1.96 \times \sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{400}} \leq p \leq 0.25 + 1.96 \times \sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{400}}
 \displaystyle 0.208 \leq p \leq 0.292

以上の計算から、全国の男性のうち「おいしい」と評価する割合pの95%信頼区間は20.8%から29.2%であると求められました。

21. 母比率の区間推定

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -