- Step1. 基礎編
- 21. 母比率の区間推定
21-5. 必要なサンプルサイズ2
例題:
ある比率を調査し、95%信頼区間を推定します。信頼区間の幅を4%に収めたい場合、どの程度のサンプルサイズを確保すればよいでしょうか。
母比率の信頼区間の幅が次の式で計算できることは21-4章で既に学びました。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 2 \times z_{\frac{1-\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f84bb4789e7014924322d4484202eeaa_l3.png)
この値が4%(=0.04)以下であればいいので、次の関係が成り立てばよいわけです。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 2 \times z_{\frac{1-\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}} \leq 0.04](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd4fa97a71388717c7fe4c8084b8fd58_l3.png)
95%信頼区間の場合のは1.96ですが、
の値は問題文からは分かりません。このような場合は
=0.5を使います。信頼区間の幅が最も大きくなるのは
=0.5の場合であり、
=0.5の場合について考えておけば、実際の
がどのような数値であったとしても、それより信頼区間の幅が大きくなることはないためです。
=0.5を式に代入すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{n}} \leq 0.04](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b6b42f693deeb96d6c75285a4ba3ed4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 2 \times 1.96 \times \frac{\sqrt{0.25}}{\sqrt{n}} \leq 0.04](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d55db94ed3ecf946fc6432fe0348638_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \sqrt{n} \geq 2 \times 1.96 \times \sqrt{0.25} \times \frac{1}{0.04}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bed7b77518511dcd5d6b3be9fbe4229c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \sqrt{n} \geq 49](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-50c60b7fbf38c136760008a2e1aef5fa_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle n \geq 49^{2}=2401](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-688b96733be8121e4f875a6af387be61_l3.png)
となり、サンプルサイズを2401以上確保すればよいということが分かります。
【コラム】
が0.5ではない場合の必要サンプルサイズ
=0.5ではない場合に、95%信頼区間の幅を4%に収めるための必要サンプルサイズは次のようになります。
![]() | 必要サンプルサイズn |
---|---|
0 | ![]() |
0.1 | ![]() |
0.3 | ![]() |
0.7 | ![]() |
0.99 | ![]() |
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