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  • Step1. 初級編
  • 21. 母比率の区間推定

21-5. 必要なサンプルサイズ2

例題:

ある比率を調査し、95%信頼区間を推定します。信頼区間の幅を4%に収めたい場合、どの程度のサンプルサイズを確保すればよいでしょうか。

母比率pの信頼区間の幅が次の式で計算できることは21-4章で既に学びました。

 \displaystyle 2 \times z_{\frac{1-\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}

この値が4%(=0.04)以下であればいいので、次の関係が成り立てばよいわけです。

 \displaystyle 2 \times z_{\frac{1-\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}} \leq 0.04

95%信頼区間の場合の\displaystyle z_{\frac{1-\alpha}{2}}は1.96ですが、\widehat{p}の値は問題文からは分かりません。このような場合は\widehat{p}=0.5を使います。信頼区間の幅が最も大きくなるのは\widehat{p}=0.5の場合であり、\widehat{p}=0.5の場合について考えておけば、実際の\widehat{p}がどのような数値であったとしても、それより信頼区間の幅が大きくなることはないためです。\widehat{p}=0.5を式に代入すると、

 \displaystyle 2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{n}} \leq 0.04
 \displaystyle 2 \times 1.96 \times \frac{\sqrt{0.25}}{\sqrt{n}} \leq 0.04
 \displaystyle \sqrt{n} \geq 2 \times 1.96 \times \sqrt{0.25} \times \frac{1}{0.04}
 \displaystyle \sqrt{n} \geq 49
 \displaystyle n \geq 49^{2}=2401

となり、サンプルサイズを2401以上確保すればよいということが分かります。

【コラム】\widehat{p}が0.5ではない場合の必要サンプルサイズ

\widehat{p}=0.5ではない場合に、95%信頼区間の幅を4%に収めるための必要サンプルサイズは次のようになります。

\widehat{p}必要サンプルサイズn
0n \geq 0
0.1n \geq 864.4
0.3n \geq 2016.8
0.7n \geq 2016.8
0.99n \geq 95.1





21. 母比率の区間推定

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -

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