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  • 21. 母比率の区間推定

練習問題(21. 母比率の区間推定)

1

次の母比率の区間推定についての4つの記述のうち、間違っているものを選べ。

  1. 母比率の区間推定について、サンプルサイズと点推定値がそれぞれ同じ場合には、95%信頼区間よりも50%信頼区間の方が常に幅は狭くなる。
  2. 区間推定の幅を狭くするには、サンプルサイズを増やす以外に方法はない。
  3. 母比率の信頼区間は、点推定による比率\hat{p}=0.5の時に最も広くなる。
  4. サンプルサイズを100倍にすると、信頼区間の幅は\frac{1}{10}になる。

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答え:2閉じる閉じる

1について、信頼区間の幅は下式で表すことができます。nと\hat{p}を固定して考えると、これは信頼係数z_{\frac{1- \alpha}{2}}に比例することが分かります。信頼係数は100%に近づくほど大きくなるため、95%信頼区間より50%信頼区間の方が常に幅は狭くなると言えます。

 \displaystyle 2 \times z_{\frac{1-\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}

2について、信頼区間の幅は「母比率が50%から離れる場合」か、「サンプルサイズが大きい場合」か、「信頼係数が小さい場合」により狭くなるので、誤りです。

信頼区間の幅は、\hat{p}について二次関数となっている部分があります。この部分は、サンプルサイズと信頼係数が固定された場合、\hat{p}= \frac{1}{2}の時に最大値\frac{1}{4}を取ります。

信頼区間の幅は、\sqrt{n}に反比例することが分かります。よって、サンプルサイズがk倍になると、信頼区間の幅は\sqrt{k}倍となります。

2

サイコロを400回投げたところ、6の目が80回出た。このサイコロで6の目が出る母比率の95%信頼区間を求めよ。

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答え:16.08 \% \leq p \leq  23.92 \%閉じる閉じる

母比率の推定値は\hat{p}=\frac{80}{400}=0.2です。これを用いて95%信頼区間を計算すると次のようになります。

 0.2 - 1.96 \times \displaystyle \sqrt{\frac{0.2 \times (1-0.2)}{400}} \leq p \leq 0.2 + 1.96 \times \sqrt{\frac{0.2 \times (1-0.2)}{400}} \\ \vspace{2mm}  \leftrightarrow 0.2-\frac{1.96 \times 0.4}{20} \leq p \leq 0.2-\frac{1.96 \times 0.4}{20} \\ \vspace{2mm} \leftrightarrow 0.2-0.0392  \leq p \leq 0.2+0.0392 \\ \leftrightarrow 0.1608  \leq p \leq 0.2392

3

二つのチョコレート菓子TとKについて、どちらが好まれているかを知るためにアンケート調査を行いたい。母比率の95%信頼区間の幅を2%以下に抑えたい場合、最低何人の調査を行う必要があるか求めよ。

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答え:9804人以上閉じる閉じる

比率が不明であるので、信頼区間の幅が最大となる\hat{p}=0.5を仮定して信頼区間を計算します。

 \displaystyle 2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{n}} \leq 0.02
 \displaystyle 2 \times 1.96 \times \frac{0.5}{\sqrt{n}} \leq 0.02
 \displaystyle \sqrt{n} \geq 2 \times 1.96 \times 0.5 \times \frac{1}{0.02}
 \displaystyle n \geq 98^{2}=9604

21. 母比率の区間推定