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  • 21. 母比率の区間推定

練習問題(21. 母比率の区間推定)

1

次の母比率の区間推定についての4つの記述のうち、誤っているものを選べ。

  1. 母比率の区間推定では、サンプルサイズと点推定値がそれぞれ同じ場合には、95%信頼区間よりも50%信頼区間の方が常に信頼区間の幅は狭くなる。
  2. 信頼区間の幅を狭くするには、サンプルサイズを増やす以外に方法はない。
  3. 母比率の信頼区間は、点推定による比率\widehat{p}=0.5の時に最も広くなる。
  4. サンプルサイズを100倍にすると、信頼区間の幅は\displaystyle \frac{1}{10}になる。

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  1. ×:正しいです。信頼区間の幅は下式で表すことができます。nと\widehat{p}を固定して考えると、これは信頼係数z_{\frac{1- \alpha}{2}}に比例することが分かります。信頼係数は100%に近づくほど大きくなるため、95%信頼区間より50%信頼区間の方が常に幅は狭くなると言えます。
     \displaystyle 2 \times z_{\frac{1-\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}
  2. ◯:誤りです。信頼区間の幅は「母比率が50%から離れる場合」か、「サンプルサイズが大きい場合」か、「信頼係数が小さい場合」により狭くなります。
  3. ×:正しいです。信頼区間の幅は、\widehat{p}について二次関数となっている部分があります。この部分は、サンプルサイズと信頼係数が固定された場合、\displaystyle \widehat{p}= \frac{1}{2}の時に最大値\displaystyle \frac{1}{4}を取ります。
  4. ×:正しいです。信頼区間の幅は、\sqrt{n}に反比例することが分かります。よって、サンプルサイズがk倍になると、信頼区間の幅は\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}倍となります。

2

サイコロを400回投げたところ、6の目が80回出た。このサイコロで6の目が出る母比率の95%信頼区間を求めよ。

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母比率の推定値は\displaystyle \widehat{p}=\frac{80}{400}=0.2です。これを用いて95%信頼区間を計算すると次のようになります。

 \displaystyle 0.2 - 1.96 \times \displaystyle \sqrt{\frac{0.2 \times (1-0.2)}{400}} \leq p \leq 0.2 + 1.96 \times \sqrt{\frac{0.2 \times (1-0.2)}{400}}
 \displaystyle 0.2-\frac{1.96 \times 0.4}{20} \leq p \leq 0.2-\frac{1.96 \times 0.4}{20}
 0.2-0.0392  \leq p \leq 0.2+0.0392
 0.1608  \leq p \leq 0.2392

3

ある芸能人の認知度を調べるため街頭アンケートを行ったところ、通行人300人のうち30人がこの芸能人のことを知っていた。信頼係数90%でこの芸能人の認知度の信頼区間を求めよ。

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母比率の推定値は\displaystyle \widehat{p}=\frac{10}{300}=0.1です。これを用いて90%信頼区間を計算すると次のようになります。

 0.1 - 1.645 \times \displaystyle \sqrt{\frac{0.1 \times (1-0.1)}{300}} \leq p \leq 0.1 + 1.645 \times \sqrt{\frac{0.1 \times (1-0.1)}{400}}
 0.1-0.0285  \leq p \leq 0.1+0.0285
 0.0715  \leq p \leq 0.1285

4

ある選挙で立候補者T氏が当選するかどうかをいち早く知るために、出口調査を行うことになった。母比率の95%信頼区間の幅を5%以内にしたい場合、何人以上を対象に調査を行う必要があるか求めよ。ただし、事前調査によりA氏の得票率は60%程度であることが分かっているものとする。

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母比率の推定値は\displaystyle \widehat{p}=0.6です。これを用いて95%信頼区間の式から次の関係が成り立ちます。

 \displaystyle 2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{0.6(1-0.6)}{n}} \leq 0.05
 \displaystyle \sqrt{n} \geq 2 \times 1.96 \times \sqrt{0.24} \times \frac{1}{0.05}
 \displaystyle n \geq 38.4^{2}=1475.1

したがって1476人以上に対して出口調査を行えばよいことが分かります。

5

2つのチョコレート菓子TとKについて、どちらが好まれているかを知るためにアンケート調査を行いたい。母比率の95%信頼区間の幅を2%以下に抑えたい場合、最低何人の調査を行う必要があるか求めよ。

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比率が不明であるので、信頼区間の幅が最大となる\widehat{p}=0.5を仮定して信頼区間を計算します。

 \displaystyle 2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{n}} \leq 0.02
 \displaystyle 2 \times 1.96 \times \frac{0.5}{\sqrt{n}} \leq 0.02
 \displaystyle \sqrt{n} \geq 2 \times 1.96 \times 0.5 \times \frac{1}{0.02}
 \displaystyle n \geq 98^{2}=9604

したがって9604人以上に対して調査を行えばよいことが分かります。





21. 母比率の区間推定

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