練習問題（21. 母比率の区間推定）

次の母比率の区間推定についての4つの記述のうち、誤っているものを選べ。

答えを見る

答え閉じる

×：正しいです。信頼区間の幅は下式で表すことができます。nと $\widehat{p}$ を固定して考えると、これは信頼係数 $z_{\frac{1- \alpha}{2}}$ に比例することが分かります。信頼係数は100％に近づくほど大きくなるため、95%信頼区間より50%信頼区間の方が常に幅は狭くなると言えます。
$\displaystyle 2 \times z_{\frac{1-\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}$
◯：誤りです。信頼区間の幅は「母比率が50％から離れる場合」か、「サンプルサイズが大きい場合」か、「信頼係数が小さい場合」により狭くなります。
×：正しいです。信頼区間の幅は、 $\widehat{p}$ について二次関数となっている部分があります。この部分は、サンプルサイズと信頼係数が固定された場合、 $\displaystyle \widehat{p}= \frac{1}{2}$ の時に最大値 $\displaystyle \frac{1}{4}$ を取ります。
×：正しいです。信頼区間の幅は、 $\sqrt{n}$ に反比例することが分かります。よって、サンプルサイズが $k$ 倍になると、信頼区間の幅は $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}$ 倍となります。

サイコロを400回投げたところ、6の目が80回出た。このサイコロで6の目が出る母比率の95％信頼区間を求めよ。

答えを見る

答え閉じる: 母比率の推定値は $\displaystyle \widehat{p}=\frac{80}{400}=0.2$ です。これを用いて95％信頼区間を計算すると次のようになります。

$\displaystyle 0.2 - 1.96 \times \displaystyle \sqrt{\frac{0.2 \times (1-0.2)}{400}} \leq p \leq 0.2 + 1.96 \times \sqrt{\frac{0.2 \times (1-0.2)}{400}}$

$\displaystyle 0.2-\frac{1.96 \times 0.4}{20} \leq p \leq 0.2+\frac{1.96 \times 0.4}{20}$

$0.2-0.0392 \leq p \leq 0.2+0.0392$

$0.1608 \leq p \leq 0.2392$

ある芸能人の認知度を調べるため街頭アンケートを行ったところ、通行人300人のうち30人がこの芸能人のことを知っていた。信頼係数90%でこの芸能人の認知度の信頼区間を求めよ。

答えを見る

答え閉じる: 母比率の推定値は $\displaystyle \widehat{p}=\frac{30}{300}=0.1$ です。これを用いて90％信頼区間を計算すると次のようになります。

$0.1 - 1.645 \times \displaystyle \sqrt{\frac{0.1 \times (1-0.1)}{300}} \leq p \leq 0.1 + 1.645 \times \sqrt{\frac{0.1 \times (1-0.1)}{300}}$

$0.1-0.0285 \leq p \leq 0.1+0.0285$

$0.0715 \leq p \leq 0.1285$