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社会人のためのデータ分析講座。Aidemy Premium
  • Step2. 中級編
  • 7. 多変量解析

7-4. クラスター分析


クラスター分析は、データの持つ様々な特徴をもとにサンプルどうしの類似度(距離)を計算し、データをいくつかのグループに分類する方法です。データをグループに分けることをクラスタリングといいます。クラスター分析には複数の手法があり、大きく階層型(的)クラスター分析と非階層型(的)クラスター分析に分けることができます。ここではまず、階層型クラスター分析について説明します。

例題:

次のデータは、あるクラスの6人の生徒におけるテストの点数(10点満点)をまとめたものです。このデータを使って階層型クラスター分析を行い、生徒を2つのクラスターに分けてください。

生徒 国語 数学 理科 社会 英語
A 3 10 9 4 9
B 7 4 4 8 10
C 10 6 5 10 10
D 9 5 2 7 6
E 2 10 10 4 7
F 5 8 9 3 8


階層型クラスター分析ではまず、得られたデータからサンプル間の距離や相関係数を計算し、サンプル間の類似度を計算します。次の結果は、統計ソフトRを使ってサンプル間の「ユークリッド距離」を算出したものになります。値が小さいほど距離が近い=類似度が高いことを表します。


次に、類似度が最も高いものから順にクラスターに結合していきます。上で示した距離行列から最も距離が近いのは「AとE」です。したがって、「A」と「E」を結合します。

結合した後の距離計算には「重心法」を使います。すなわち、「A」と「E」の重心を、結合後の値とし、再度サンプル間のユークリッド距離を計算します。

生徒 国語 数学 理科 社会 英語
AE 2.5 10 9.5 4 8
B 7 4 4 8 10
C 10 6 5 10 10
D 9 5 2 7 6
F 5 8 9 3 8



上で示した距離行列から最も距離が近いのは「AEとF」です。したがって、「AE」と「F」を結合し、再度ユークリッド距離を計算します。

生徒 国語 数学 理科 社会 英語
AEF 3.75 9 9.25 3.5 8
B 7 4 4 8 10
C 10 6 5 10 10
D 9 5 2 7 6



上で示した距離行列から最も距離が近いのは「BとC」です。したがって、「B」と「C」を結合し、再度ユークリッド距離を計算します。

生徒 国語 数学 理科 社会 英語
AEF 3.75 9 9.25 3.5 8
BC 8.5 5 4.5 9 10
D 9 5 2 7 6



上で示した距離行列から最も距離が近いのは「BCとD」です。したがって、「BC」と「D」を結合し、再度ユークリッド距離を計算します。

生徒 国語 数学 理科 社会 英語
AEF 3.75 9 9.25 3.5 8
BCD 8.75 5 3.25 8 8



ここまでで、クラスター分析における類似度の計算は終わりです。ここまでの結果をまとめると、

  1. AとEを結合(距離:2.449490)
  2. AEとFを結合(距離:3.391165)
  3. BとCを結合(距離:4.242641)
  4. BCとDを結合(距離:5.147815)
  5. AEFとBCDを結合(距離:9.861541)

となり、最終的に1つのクラスターとなります。

■デンドログラム

クラスター分析において、このような結合の過程をグラフに表したものがデンドログラム(樹形図)です。デンドログラムを見ると、逐次的にサンプルがクラスタリングされる様子が分かります。

  1. AとEを結合(距離:2.449490)
  2. AEとFを結合(距離:3.391165)
  3. BとCを結合(距離:4.242641)
  4. BCとDを結合(距離:5.147815)
  5. AEFとBCDを結合(距離:9.861541)

クラスター分析によって最終的に得られるのがこのデンドログラムです。この結果から、「A、E、F」と「B、C、D」の2つのクラスターに分けられることが分かります。


7. 多変量解析


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