12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散

練習問題（12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散）

1から100までの数字が書いてある100枚のカードの中からランダムに1枚引く。このとき、引いたカードに書いてある数字を確率変数 $X$ とすると、1から100までの $X$ について確率分布 $P(X)$ を考えることができる。

この確率分布 $P(X)$ の累積分布関数 $F(x)$ について、次の4つの数値がそれぞれどのような事象を表すか答えよ。

$F(5)$
$F(90)$
$F(50)-F(39)$
$F(80)-F(74)+F(30)-F(19)$

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5以下のカードを引く確率
90以下のカードを引く確率
40～50のカードを引く確率
20～30または75～80のカードを引く確率

3枚の異なるコインを投げるとき、表が出る枚数を確率変数 $X$ とする。このとき、確率変数 $X$ の期待値と分散を求めよ。

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確率変数 $X$ がとり得るそれぞれの値に対応する確率 $p$ をまとめると次のようになります。

表が出る枚数 ( $X$ )	0	1	2	3
確率 ( $P(X)$ )	$\displaystyle \frac{1}{8}$	$\displaystyle \frac{3}{8}$	$\displaystyle \frac{3}{8}$	$\displaystyle \frac{1}{8}$

したがって、期待値は次のように計算できます。

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&\displaystyle \sum_{i=0}^3 x_i p_i \\ &=& 0 \times \displaystyle \frac{1}{8} +1 \times \displaystyle \frac{3}{8}+2 \times \displaystyle \frac{3}{8}+3 \times \displaystyle \frac{1}{8} \\ &=&\displaystyle \frac{12}{8} =\displaystyle \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

分散は期待値を用いて次の式から求められます。

$V(X)=E(X^2)-\left\{E(X)\right\}^2$

$E(X)=\displaystyle \frac{3}{2}$ を使って、まず $E(X^2)$ を求めます。

$\begin{eqnarray*} E(X^2)&=&\displaystyle \sum_{i=0}^3 x_i^2 p_i \\ &=& 0^2 \times \displaystyle \frac{1}{8} + 1^2 \times \displaystyle \frac{3}{8} + 2^2 \times \displaystyle \frac{3}{8} + 3^2 \times \displaystyle \frac{1}{8} \\ &=& 1 \times \displaystyle \frac{3}{8} + 4 \times \displaystyle \frac{3}{8} + 9 \times \displaystyle \frac{1}{8} \\ &=&\displaystyle \frac{24}{8} =3 \end{eqnarray*}$

次に $\{ E(X) \}^2$ を求めます。

$\{ E(X) \}^2=\left(\displaystyle \frac{3}{2} \right)^2 = \displaystyle\frac{9}{4}$

したがって次のように計算できます。

$V(X)=E(X^2)-\left\{E(X)^\right\}^2=3 - \displaystyle\frac{9}{4} =\displaystyle \frac{3}{4}$

次のような確率密度関数があるとき、確率変数 $X$ の期待値と分散を求めよ。

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \vspace{3mm} \displaystyle \frac{1}{4}x^3 & (0 \leq X \leq 2) \\ 0 & (X < 0 , 2 < X) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

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期待値は次のように計算できます。

$\begin{eqnarray*} E(X)&=& \displaystyle \int_{0}^{2} xf(x)dx \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{2} x \times \displaystyle \frac{1}{4}x^3 dx \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{1}{4}x^4 dx \\ &=&\left[ \displaystyle \frac{x^5}{20} \right]_0^2 \\ &=&\displaystyle \frac{32}{20} = \displaystyle \frac{8}{5} \end{eqnarray*}$

分散は期待値を用いて次の式から求められます。

$V(X)=E(X^2)-\left\{E(X)\right\}^2$

$E(X^2)$ は次のように求めます。

$\begin{eqnarray*} E(X^2)&=& \displaystyle \int_{0}^{2} x^2f(x)dx \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{2} x^2 \times \displaystyle \frac{1}{4}x^3 dx \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{1}{4}x^5 dx \\ &=&\left[ \displaystyle \frac{x^6}{24} \right]_0^2 \\ &=&\displaystyle \frac{64}{24} = \displaystyle \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

次に $\{ E(X) \}^2$ を求めます。

$\{ E(X) \}^2=\left(\displaystyle \frac{8}{5} \right)^2 = \displaystyle\frac{64}{25}$

したがって次のように計算できます。

$V(X)=E(X^2)-\left\{E(X)^\right\}^2=\displaystyle\frac{8}{3} - \displaystyle\frac{64}{25} =\displaystyle \frac{8}{75}$

1枚のコインを投げるとき、確率変数 $X$ を裏が出たら $X=0$ 、表が出たら $X=1$ と対応させる。この確率変数 $X$ が従う確率分布について、累積分布関数 $F(x)=P(X \leq x)$ を求めよ。

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$X$ は0と1しか値をとらず、どちらの場合においても $P(X)=\displaystyle\frac{1}{2}$ です。累積分布関数の定義に従って、次のように $F(x)$ を求めることができます。

$F(x)=\displaystyle\sum_{i:X_i \leq x} P(X_i) \hspace{5mm} (X= \left\{ 0,1 \right\} )$

$X=0$ について

$F(0)=\displaystyle \sum_{i:X_i \leq 0} P(X_i) \\ =P(0)=\displaystyle \frac{1}{2}$

$X=1$ について

$F(1)=\displaystyle\sum_{i:X_i \leq 1} P(X_i) \\ =P(0)+P(1) =\displaystyle \frac{1}{2} +\displaystyle \frac{1}{2}=1$

以上の事から、累積分布関数は次のようになります。

$\begin{eqnarray*} F(X)=\left\{ \begin{array}{ll} \vspace{3mm} \displaystyle 0 & ( X < 0) \\ \vspace{3mm} \displaystyle \frac{1}{2} & (0 \leq X < 1) \\ 1 & (1 \leq X)\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

これをグラフにすると次のようになります。

1枚のコインを投げるとき、確率変数 $X$ を裏が出たら $X=0$ 、表が出たら $X=1$ と対応させる。この確率変数 $X$ が従う確率分布について、分散 $V(X)$ を求めよ。

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$X$ は0と1しか値をとらず、どちらの場合においても $P(X)=\displaystyle\frac{1}{2}$ です。離散型確率分布における分散は次のように求めます。

$V(X)= \displaystyle \displaystyle \sum_{i:X_i \leq 1} (X_i - E(X))^2 \times P(X_i)$

難しく見えますが、 $X$ は0か1の二つしかなく $P(0)=P(1)=\displaystyle \frac{1}{2}$ であるので、次のようになります。

$V(X)= (0-E(X))^2 \times \displaystyle \frac{1}{2}+ (1-E(X))^2 \times \displaystyle \frac{1}{2}$

期待値 $E(X)=\displaystyle \frac{1}{2}$ を用いると、分散 $V(X)$ は $\displaystyle \frac{1}{4}$ と計算できます。

$V(X)= \left(0-\displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 \times \displaystyle \frac{1}{2}+ \left( 1-\displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 \times \displaystyle \frac{1}{2} \\ =\displaystyle \frac{1}{4} \times \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{1}{4} \times \displaystyle \frac{1}{2} \\ =\displaystyle \frac{1}{4}$