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  • 数学ノート
  • 統計学で使う数学

指数と累乗根


■指数とは

an 回かけたものを a^n と表します。このように、同じ数をかけ合わせたものを「累乗」といいます。また、n を「指数」といいます。

指数が0の場合、

 \displaystyle a^0 = 1

となります。また指数が負の数の場合は、

 \displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}

となります。


■指数法則

指数には次に示す「指数法則」が成り立ちます。

 \displaystyle 1.~~~a^m a^n = a^{m+n}

例えば a^3 a^4 について考えてみます。

 \displaystyle a^3 a^4 = (a \times a \times a) \times (a \times a \times a \times a) = a^7 = a^{3+4}

となることが分かります。また、a^4 a^{-2} について考えてみます。

 \displaystyle a^4 a^{-2} = \frac{a^4}{a^2} = \frac{a \times a \times a \times a}{a \times a} = a^{2} = a^{4-2}

となります。


 \displaystyle 2.~~~(a^m)^n = a^{mn}

例えば (a^3)^2 について考えてみます。

 \displaystyle (a^3)^2 = (a \times a \times a)^2 = (a \times a \times a) \times (a \times a \times a) = a^6 = a^{3 \times 2}

となることが分かります。


 \displaystyle 3.~~~(ab)^n = a^{n}b^{n}

例えば (ab)^3 について考えてみます。

 \displaystyle (ab)^3 = (ab \times ab \times ab) = a \times a \times a \times b \times b \times b = a^3 b^3

となることが分かります。また、\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^3 について考えてみます。

 \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^3 = \left(\frac{a}{b}\right) \times \left(\frac{a}{b}\right) \times \left(\frac{a}{b}\right) = \frac{a \times a \times a}{b \times b \times b} = a^3 \times \left( \frac{1}{b^3} \right) = \frac{a^3}{b^3}

となります。



■累乗根とは

n 乗すると a になる数を an 乗根といい、\sqrt[n]{a} と書きます。特に、2乗すると a になる数を a の平方根(2乗根)、3乗すると a になる数を a の立方根(3乗根)といいます。これらの「○乗根」をまとめて「累乗根」といいます。

a = 0 の場合、

 \displaystyle \sqrt[n]{0} = 0

となります。また、累乗根は次のように書き換えることもできます。

 \displaystyle \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}

例えば、3乗すると a になる数 \sqrt[3]{a} について考えてみます。\sqrt[3]{a} を3乗すると

 \displaystyle (\sqrt[3]{a})^3 = (a^{\frac{1}{3}})^3 = a^{\frac{1}{3} \times 3} = a^1 = a

となることから、\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} が成り立つことが確認できます。


■累乗根の公式

a>0b>0であり、mnp が正の数のとき、累乗根には次に示す「累乗根の公式」が成り立ちます。

 \displaystyle 1.~~~ \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

【証明】右辺を x とおきます。

 \displaystyle \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = x

両辺を n 乗すると、

 \displaystyle (\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b})^n = (\sqrt[n]{a})^n (\sqrt[n]{b})^n = (a^{\frac{1}{n}})^n (b^{\frac{1}{n}})^n = (a^{\frac{1}{n} \times n}) (b^{\frac{1}{n} \times n}) = ab = x^n

となります。ab>0x>0 であることから

 \displaystyle x = \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}

となります。


 \displaystyle 2.~~~\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}

【証明】右辺を x とおきます。

 \displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = x

両辺を n 乗すると、

 \displaystyle \left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n = \frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n} = \frac{(a^{\frac{1}{n}})^n}{(b^{\frac{1}{n}})^n} = \frac{a^{\frac{1}{n} \times n}}{b^{\frac{1}{n} \times n}} = \frac{a}{b} = x^n

となります。\frac{a}{b}>0x>0 であることから

 \displaystyle x = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

となります。


 \displaystyle 3.~~~(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}

【証明】右辺を x とおきます。

 \displaystyle (\sqrt[n]{a})^m = x

両辺を n 乗すると、

 \displaystyle ((\sqrt[n]{a})^m)^n = ((a^{\frac{1}{n}})^m)^n = (a^{\frac{1}{n} \times m})^n = (a^{\frac{m}{n}})^n = a^{\frac{m}{n} \times n} = a^m = x^n

となります。a^m>0x>0 であることから

 \displaystyle x = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m

となります。


 \displaystyle 4.~~~\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}

【証明】右辺を x とおきます。

 \displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = x

両辺を m 乗すると、

 \displaystyle \left(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\right)^m = ((\sqrt[n]{a})^{\frac{1}{m}})^m = (\sqrt[n]{a})^{\frac{1}{m}\times m} = \sqrt[n]{a} = x^m

となります。さらに両辺を n 乗すると、

 \displaystyle (\sqrt[n]{a})^n = (a^{\frac{1}{n}})^n = a^{\frac{1}{n} \times n} = a = x^{mn}

a>0x>0 であることから

 \displaystyle x = \sqrt[mn]{a} = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}

となります。


 \displaystyle 5.~~~\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}

【証明】右辺を x とおきます。

 \displaystyle \sqrt[n]{a^m} = x

両辺を n 乗すると、

 \displaystyle (\sqrt[n]{a^m})^n = (({a^m})^{\frac{1}{n}})^n = ({a^m})^{\frac{1}{n} \times n} = a^m = x^n

となります。さらに両辺を p 乗します。

 \displaystyle a^{mp} = x^{np}

a^{mp}>0x>0 であることから

 \displaystyle x = \sqrt[np]{a^{mp}} = \sqrt[n]{a^m}

となります。


【例題】

次の計算式を簡単にするとどうなるでしょうか。

  1. \displaystyle a^6 \times a^{-2} \times (a^{-3})^2
  2. \displaystyle 0.25^{\frac{3}{2}}
  3. \displaystyle (16^{\frac{5}{4}} \times 9^{\frac{3}{2}})^3 \div 12^4
  4. \displaystyle (m^2 n)^{-2} \times m^{-1}n^3 \div (m^{-3}n^{-1})^2
  5. \displaystyle \sqrt{2} \times \sqrt[3]{2} \times \sqrt[4]{2}
  6. \displaystyle (x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})

【こたえ】

  1. \displaystyle a^{-2}
  2. \displaystyle \frac{1}{8}
  3. \displaystyle 128
  4. \displaystyle mn^3
  5. \displaystyle 2\sqrt[12]{2}
  6. \displaystyle 0

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