- 数学ノート
- 統計学で使う数学
指数と累乗根
■指数とは
を
回かけたものを
と表します。このように、同じ数をかけ合わせたものを「累乗」といいます。また、
を「指数」といいます。
指数が0の場合、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle a^0 = 1](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-133885b6ff5ba5902113804004a9f027_l3.png)
となります。また指数が負の数の場合は、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-212c451fa62196cd0420e4aca515b2f4_l3.png)
となります。
■指数法則
指数には次に示す「指数法則」が成り立ちます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 1.~~~a^m a^n = a^{m+n}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13673c10ce9143c88180a35a1ab07e7d_l3.png)
例えば について考えてみます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle a^3 a^4 = (a \times a \times a) \times (a \times a \times a \times a) = a^7 = a^{3+4}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af7fa8b9a6e68d87fcc0a934b32c6f8a_l3.png)
となることが分かります。また、 について考えてみます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle a^4 a^{-2} = \frac{a^4}{a^2} = \frac{a \times a \times a \times a}{a \times a} = a^{2} = a^{4-2}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e3200538f9252e9b949d1707e3eb5b53_l3.png)
となります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 2.~~~(a^m)^n = a^{mn}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da00255109b64dd6c5798529e2a826e5_l3.png)
例えば について考えてみます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle (a^3)^2 = (a \times a \times a)^2 = (a \times a \times a) \times (a \times a \times a) = a^6 = a^{3 \times 2}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b02a2074e7348ce12cf9ca2406c94717_l3.png)
となることが分かります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 3.~~~(ab)^n = a^{n}b^{n}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-49a15db28e30cf38c4dc3ffd9862ee0d_l3.png)
例えば について考えてみます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle (ab)^3 = (ab \times ab \times ab) = a \times a \times a \times b \times b \times b = a^3 b^3](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30a6da34ec01c292d63a48a5cd72dd68_l3.png)
となることが分かります。また、 について考えてみます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^3 = \left(\frac{a}{b}\right) \times \left(\frac{a}{b}\right) \times \left(\frac{a}{b}\right) = \frac{a \times a \times a}{b \times b \times b} = a^3 \times \left( \frac{1}{b^3} \right) = \frac{a^3}{b^3}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f32f80c0bea0a7fa67fff47290509e82_l3.png)
となります。
■累乗根とは
乗すると
になる数を
の
乗根といい、
と書きます。特に、2乗すると
になる数を
の平方根(2乗根)、3乗すると
になる数を
の立方根(3乗根)といいます。これらの「○乗根」をまとめて「累乗根」といいます。
の場合、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \sqrt[n]{0} = 0](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ed4474a7370909ed20a51ec05b44b7f_l3.png)
となります。また、累乗根は次のように書き換えることもできます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-982b90415fdbdde95f321b60ddec0522_l3.png)
例えば、3乗すると になる数
について考えてみます。
を3乗すると
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle (\sqrt[3]{a})^3 = (a^{\frac{1}{3}})^3 = a^{\frac{1}{3} \times 3} = a^1 = a](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f2b6d79cc7d4e9168159030d42754f6_l3.png)
となることから、 が成り立つことが確認できます。
■累乗根の公式
、
であり、
、
、
が正の数のとき、累乗根には次に示す「累乗根の公式」が成り立ちます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 1.~~~ \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c69ac0e4e908269477629613321b35e_l3.png)
【証明】右辺を とおきます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = x](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb2bae243cc6ce6b78e2641c72f15522_l3.png)
両辺を 乗すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle (\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b})^n = (\sqrt[n]{a})^n (\sqrt[n]{b})^n = (a^{\frac{1}{n}})^n (b^{\frac{1}{n}})^n = (a^{\frac{1}{n} \times n}) (b^{\frac{1}{n} \times n}) = ab = x^n](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a70ea16c7e226b49a2b269f5fe7ed94d_l3.png)
となります。、
であることから
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle x = \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd72addd6f2b05f003b11381a184f7ce_l3.png)
となります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 2.~~~\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c5f502d274cd810b901f1c909d40619_l3.png)
【証明】右辺を とおきます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = x](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-871d61805464ec64bf83efc0bd6fcaa6_l3.png)
両辺を 乗すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n = \frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n} = \frac{(a^{\frac{1}{n}})^n}{(b^{\frac{1}{n}})^n} = \frac{a^{\frac{1}{n} \times n}}{b^{\frac{1}{n} \times n}} = \frac{a}{b} = x^n](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c055267cae369f2821c2819de7d6ce18_l3.png)
となります。、
であることから
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle x = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-622fdb4b3eace6163271c1f071cc9655_l3.png)
となります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 3.~~~(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea3361bfd68c15185ddb0e1347140544_l3.png)
【証明】右辺を とおきます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle (\sqrt[n]{a})^m = x](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a3545a30d085f322d1ae91a46ec281a_l3.png)
両辺を 乗すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle ((\sqrt[n]{a})^m)^n = ((a^{\frac{1}{n}})^m)^n = (a^{\frac{1}{n} \times m})^n = (a^{\frac{m}{n}})^n = a^{\frac{m}{n} \times n} = a^m = x^n](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-656445ffe4ec4baaaa817be2e72efe9c_l3.png)
となります。、
であることから
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle x = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-694d258bcd2b85751bc80c869a795492_l3.png)
となります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 4.~~~\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f7dcc2023729065e1466f723010896c_l3.png)
【証明】右辺を とおきます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = x](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b7112cf0633a2895220fec40a686062_l3.png)
両辺を 乗すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \left(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\right)^m = ((\sqrt[n]{a})^{\frac{1}{m}})^m = (\sqrt[n]{a})^{\frac{1}{m}\times m} = \sqrt[n]{a} = x^m](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b31a7b74c80db5a1161d6be6cf061cc8_l3.png)
となります。さらに両辺を 乗すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle (\sqrt[n]{a})^n = (a^{\frac{1}{n}})^n = a^{\frac{1}{n} \times n} = a = x^{mn}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6aac56a567346d278c810096f408be23_l3.png)
、
であることから
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle x = \sqrt[mn]{a} = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d81242cc411a88448128ec2afb7fc31a_l3.png)
となります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 5.~~~\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7511e98ca7ef3359c87b680ebb8e33c3_l3.png)
【証明】右辺を とおきます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \sqrt[n]{a^m} = x](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75768c2d23a1859cf393c23f0f9a2303_l3.png)
両辺を 乗すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle (\sqrt[n]{a^m})^n = (({a^m})^{\frac{1}{n}})^n = ({a^m})^{\frac{1}{n} \times n} = a^m = x^n](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9906aa5663811b4e848678ba2a4d7300_l3.png)
となります。さらに両辺を 乗します。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle a^{mp} = x^{np}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-caa3a3ff8fa4bed12e6c9ee45408b3fa_l3.png)
、
であることから
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle x = \sqrt[np]{a^{mp}} = \sqrt[n]{a^m}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-937ab55744d959168d29dcf99ca138fc_l3.png)
となります。
【例題】
次の計算式を簡単にするとどうなるでしょうか。