- 数学ノート
- 統計学で使う数学
指数と累乗根
■指数とは
を
回かけたものを
と表します。このように、同じ数をかけ合わせたものを「累乗」といいます。また、
を「指数」といいます。
指数が0の場合、

となります。また指数が負の数の場合は、

となります。
■指数法則
指数には次に示す「指数法則」が成り立ちます。

例えば について考えてみます。

となることが分かります。また、 について考えてみます。

となります。

例えば について考えてみます。

となることが分かります。

例えば について考えてみます。

となることが分かります。また、 について考えてみます。

となります。
■累乗根とは
乗すると
になる数を
の
乗根といい、
と書きます。特に、2乗すると
になる数を
の平方根(2乗根)、3乗すると
になる数を
の立方根(3乗根)といいます。これらの「○乗根」をまとめて「累乗根」といいます。
の場合、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \sqrt[n]{0} = 0](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ed4474a7370909ed20a51ec05b44b7f_l3.png)
となります。また、累乗根は次のように書き換えることもできます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-982b90415fdbdde95f321b60ddec0522_l3.png)
例えば、3乗すると になる数
について考えてみます。
を3乗すると
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle (\sqrt[3]{a})^3 = (a^{\frac{1}{3}})^3 = a^{\frac{1}{3} \times 3} = a^1 = a](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f2b6d79cc7d4e9168159030d42754f6_l3.png)
となることから、 が成り立つことが確認できます。
■累乗根の公式
、
であり、
、
、
が正の数のとき、累乗根には次に示す「累乗根の公式」が成り立ちます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 1.~~~ \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c69ac0e4e908269477629613321b35e_l3.png)
【証明】右辺を とおきます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = x](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb2bae243cc6ce6b78e2641c72f15522_l3.png)
両辺を 乗すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle (\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b})^n = (\sqrt[n]{a})^n (\sqrt[n]{b})^n = (a^{\frac{1}{n}})^n (b^{\frac{1}{n}})^n = (a^{\frac{1}{n} \times n}) (b^{\frac{1}{n} \times n}) = ab = x^n](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a70ea16c7e226b49a2b269f5fe7ed94d_l3.png)
となります。、
であることから
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle x = \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd72addd6f2b05f003b11381a184f7ce_l3.png)
となります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 2.~~~\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c5f502d274cd810b901f1c909d40619_l3.png)
【証明】右辺を とおきます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = x](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-871d61805464ec64bf83efc0bd6fcaa6_l3.png)
両辺を 乗すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n = \frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n} = \frac{(a^{\frac{1}{n}})^n}{(b^{\frac{1}{n}})^n} = \frac{a^{\frac{1}{n} \times n}}{b^{\frac{1}{n} \times n}} = \frac{a}{b} = x^n](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c055267cae369f2821c2819de7d6ce18_l3.png)
となります。、
であることから
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle x = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-622fdb4b3eace6163271c1f071cc9655_l3.png)
となります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 3.~~~(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea3361bfd68c15185ddb0e1347140544_l3.png)
【証明】右辺を とおきます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle (\sqrt[n]{a})^m = x](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a3545a30d085f322d1ae91a46ec281a_l3.png)
両辺を 乗すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle ((\sqrt[n]{a})^m)^n = ((a^{\frac{1}{n}})^m)^n = (a^{\frac{1}{n} \times m})^n = (a^{\frac{m}{n}})^n = a^{\frac{m}{n} \times n} = a^m = x^n](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-656445ffe4ec4baaaa817be2e72efe9c_l3.png)
となります。、
であることから
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle x = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-694d258bcd2b85751bc80c869a795492_l3.png)
となります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 4.~~~\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f7dcc2023729065e1466f723010896c_l3.png)
【証明】右辺を とおきます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = x](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b7112cf0633a2895220fec40a686062_l3.png)
両辺を 乗すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \left(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\right)^m = ((\sqrt[n]{a})^{\frac{1}{m}})^m = (\sqrt[n]{a})^{\frac{1}{m}\times m} = \sqrt[n]{a} = x^m](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b31a7b74c80db5a1161d6be6cf061cc8_l3.png)
となります。さらに両辺を 乗すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle (\sqrt[n]{a})^n = (a^{\frac{1}{n}})^n = a^{\frac{1}{n} \times n} = a = x^{mn}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6aac56a567346d278c810096f408be23_l3.png)
、
であることから
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle x = \sqrt[mn]{a} = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d81242cc411a88448128ec2afb7fc31a_l3.png)
となります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 5.~~~\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7511e98ca7ef3359c87b680ebb8e33c3_l3.png)
【証明】右辺を とおきます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \sqrt[n]{a^m} = x](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75768c2d23a1859cf393c23f0f9a2303_l3.png)
両辺を 乗すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle (\sqrt[n]{a^m})^n = (({a^m})^{\frac{1}{n}})^n = ({a^m})^{\frac{1}{n} \times n} = a^m = x^n](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9906aa5663811b4e848678ba2a4d7300_l3.png)
となります。さらに両辺を 乗します。

、
であることから
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle x = \sqrt[np]{a^{mp}} = \sqrt[n]{a^m}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-937ab55744d959168d29dcf99ca138fc_l3.png)
となります。
【例題】
次の計算式を簡単にするとどうなるでしょうか。