数学ノート
統計学で使う数学

積分の計算

ある関数 $f(x)$ を積分する際に、 $a \leq x \leq b$ といった具体的な区間が与えられた場合には、

$\displaystyle \frac{d}{dx}F(x)=f(x)$

という関係となる $F(x)$ を用いて、 $F(b)-F(a)$ と引き算することで答えを算出できます。

$\displaystyle \int_a^b{f(x)dx}=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$

次に、この $F(x)$ を求めるための公式を紹介します。

■xⁿの積分公式

$x^n$ の形で表される関数の積分は、次のように計算できます。

$\displaystyle \int_{a}^{b} x^n dx=\left[\frac{1}{n+1} {x}^{n+1} \right]_{a}^{b}$

例えば、 $x^2$ を積分すると $\displaystyle \frac{1}{3}x^3$ となります。この際、 $x^3$ を微分したものが $3x^2$ となる関係から考えることもできます。また、 $x^2$ を0から3まで積分すると次のようになります。

$\displaystyle \int_{0}^{3} x^2 dx=\left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{3} =\left(\frac{1}{3} \times 3^3 \right) - \left(\frac{1}{3} \times 0^3\right) = 9$

■kxⁿの積分公式

$y=10f(x)$ のように、ある関数 $f(x)$ を定数倍した関数の積分は次のように計算できます。

$\displaystyle \int_{a}^{b} kf(x) dx= k \times \int_{a}^{b} f(x) dx$

この2つの公式を利用すると、2つの関数 $f(x)$ と $g(x)$ の和からなる関数 $f(x)+g(x)$ の積分は、次のように計算できます。

$\displaystyle \int_{a}^{b} \left\{f(x)+g(x) \right\} dx=\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx +\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) dx$

例えば $y=x^2+x$ の関数の積分計算は、 $x^2$ の項と $x$ の項をそれぞれ積分したものを足し合わせたものと等しくなります。この関数を1から3まで積分すると次のようになります。

$\displaystyle \int_{1}^{3} x^2 +x dx=\displaystyle \int_{1}^{3} x^2 dx +\displaystyle \int_{1}^{3} x dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{1}^{3}+ \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{1}^{3} \\ = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) + \left( \frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \frac{38}{3}$

【例題】

次の3つの積分を計算してみましょう。

$\displaystyle \int_{1}^{3} 4x dx$

$\displaystyle \int_{10}^{11} 2x+3x^2 dx$

$\displaystyle \int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}} \frac{5}{9}x^3 + \frac{1}{7} x^2 + 2 dx$

【こたえ】

$\displaystyle \int_{1}^{3} 4x dx = \left[ 2x^2 \right]_{1}^{3}=18-2=16$

$\displaystyle \int_{10}^{11} 2x+3x^2 dx = \left[ x^2 + x^3 \right]_{10}^{11} = (121+1331) - (100+1000) = 352$

$\displaystyle \int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}} \frac{5}{9}x^3 - \frac{1}{7} x^2 + 2 dx = \left[\frac{5x^4}{36} - \frac{x^3}{21} + 2x \right]_{-\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}} = \frac{23142125}{5225472}$