BellCurve 統計WEB

  • 数学ノート
  • 統計学で使う数学

積分の計算

ある関数f(x)を積分する際に、a \leq x \leq bといった具体的な区間が与えられた場合には、

 \displaystyle \frac{d}{dx}F(x)=f(x)
という関係となるF(x)を用いて、F(b)-F(a)と引き算することで答えを算出できます。
 \displaystyle \int_a^b{f(x)dx}=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)

次に、このF(x)を求めるための公式を紹介します。

■xnの積分公式

x^nの形で表される関数の積分は、次のように計算できます。

 \displaystyle \int_{a}^{b} x^n dx=\left[\frac{1}{n+1} {x}^{n+1} \right]_{a}^{b}

例えば、x^2を積分すると\displaystyle \frac{1}{3}x^3となります。この際、x^3を微分したものが3x^2となる関係から考えることもできます。また、x^2を0から3まで積分すると次のようになります。

 \displaystyle \int_{0}^{3} x^2 dx=\left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{3} =\left(\frac{1}{3} \times 3^3 \right) - \left(\frac{1}{3} \times 0^3\right) = 9

■kxnの積分公式

y=10f(x)のように、ある関数f(x)を定数倍した関数の積分は次のように計算できます。

 \displaystyle \int_{a}^{b} kf(x) dx= k \times \int_{a}^{b} f(x) dx

この2つの公式を利用すると、2つの関数f(x)g(x)の和からなる関数f(x)+g(x)の積分は、次のように計算できます。

 \displaystyle \int_{a}^{b} \left\{f(x)+g(x) \right\} dx=\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx +\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) dx

例えばy=x^2+xの関数の積分計算は、x^2の項とxの項をそれぞれ積分したものを足し合わせたものと等しくなります。この関数を1から3まで積分すると次のようになります。

 \displaystyle \int_{1}^{3} x^2 +x dx=\displaystyle \int_{1}^{3} x^2 dx +\displaystyle \int_{1}^{3} x dx  = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{1}^{3}+ \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{1}^{3} \\ = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) + \left( \frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right)  = \frac{14}{3}

【例題】

次の3つの積分を計算してみましょう。

1.

 \displaystyle \int_{1}^{3} 4x dx

2.

 \displaystyle \int_{10}^{11} 2x+3x^2 dx

3.

 \displaystyle \int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}} \frac{5}{9}x^3 + \frac{1}{7} x^2 + 2 dx

【こたえ】

1.

 \displaystyle \int_{1}^{3} 4x dx  = \left[ 2x^2 \right]_{1}^{3}=18-2=16

2.

 \displaystyle \int_{10}^{11} 2x+3x^2 dx  = \left[ x^2 + x^3 \right]_{10}^{11} = (121+1331) - (100+1000) = 352

3.

 \displaystyle \int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}} \frac{5}{9}x^3 - \frac{1}{7} x^2 + 2 dx = \left[\frac{5x^4}{36} - \frac{x^3}{21} + 2x \right]_{-\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}}  = \frac{23142125}{5225472}




統計学で使う数学

統計検定バナー 「統計学の時間」では、記事を最後まで読むことで、統計検定2級に合格する力が身につくことを目標としています。