- 数学ノート
- 統計学で使う数学
微分の計算
■xnの微分公式
関数を微分すると、導関数
は次のようになります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle y=x^{n} \longrightarrow f'(x)=nx^{n-1}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0e90efc4bf5e17281fa64a2714ecc4eb_l3.png)
例えば、を微分すると
に、
を微分すると
となります。一方、
のように、
を定数倍した関数は次のように計算できます。
■kxnの微分公式
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle y=kx^{n} \longrightarrow f'(x) = k \times nx^{n-1}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4c421205284d7d18db1147f9ca06eea_l3.png)
この式は、「定数倍」は微分の前後で値が変わらないことを表しています。例えば
を微分する場合、
と考え、
の微分が
であることから
と計算できます。
この2つの公式を利用すると、のような多項式は次のように微分できます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \left\{ f(x)+g(x) \right\}' = f'(x)+g'(x)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b3fb31f1b035faa60b821ec901cb9cf_l3.png)
この式は、いくつかの関数の和で表される関数はそれぞれ微分したものを足し合わせたものと等しいことを表します。例えばは、
と
についてそれぞれ微分したものを足し合わせればよいので、
を微分すると
と計算できます。
【例題】
次の3つの関数をxについて微分するとどうなるでしょうか。