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微分の計算

■xnの微分公式

関数y=x^{n}を微分すると、導関数f'(x)は次のようになります。

 \displaystyle y=x^{n}  \longrightarrow  f'(x)=nx^{n-1}

例えば、y=x^{3}を微分するとf'(x)=3x^{2}に、y=xを微分するとf'(x)=1となります。一方、y=4x^{3}のように、x^{n}を定数倍した関数は次のように計算できます。

■kxnの微分公式

 \displaystyle y=kx^{n}  \longrightarrow   f'(x) = k \times nx^{n-1}

この式は、「定数倍k」は微分の前後で値が変わらないことを表しています。例えばy=4x^{2}を微分する場合、y= 2 \times x^{2}と考え、x^{2}の微分が2xであることからf'(x)= 2 \times 2x=4xと計算できます。

この2つの公式を利用すると、y=x^{2}+xのような多項式は次のように微分できます。

 \displaystyle \left\{ f(x)+g(x) \right\}' = f'(x)+g'(x)

この式は、いくつかの関数の和で表される関数はそれぞれ微分したものを足し合わせたものと等しいことを表します。例えばy=x^2+xは、x^2xについてそれぞれ微分したものを足し合わせればよいので、y=x^2+xを微分するとy'=2x+1と計算できます。

【例題】

次の3つの関数をxについて微分するとどうなるでしょうか。

  1. y=-x^3
  2. y=7x+10x^2
  3. y=3x^2-6x+3

【こたえ】

  1. -3x^2
  2. 7+20x
  3. 6x-6

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