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数学ノート
統計学で使う数学

微分の計算

■xⁿの微分公式

関数 $y=x^{n}$ を微分すると、導関数 $f'(x)$ は次のようになります。

$\displaystyle y=x^{n} \longrightarrow f'(x)=nx^{n-1}$

例えば、 $y=x^{3}$ を微分すると $f'(x)=3x^{2}$ に、 $y=x$ を微分すると $f'(x)=1$ となります。一方、 $y=4x^{3}$ のように、 $x^{n}$ を定数倍した関数は次のように計算できます。

■kxⁿの微分公式

$\displaystyle y=kx^{n} \longrightarrow f'(x) = k \times nx^{n-1}$

この式は、「定数倍 $k$ 」は微分の前後で値が変わらないことを表しています。例えば $y=4x^{2}$ を微分する場合、 $y= 4 \times x^{2}$ と考え、 $x^{2}$ の微分が $2x$ であることから $f'(x)= 4 \times 2x=8x$ と計算できます。

この２つの公式を利用すると、 $y=x^{2}+x$ のような多項式は次のように微分できます。

$\displaystyle \left\{ f(x)+g(x) \right\}' = f'(x)+g'(x)$

この式は、いくつかの関数の和で表される関数はそれぞれ微分したものを足し合わせたものと等しいことを表します。例えば $y=x^2+x$ は、 $x^2$ と $x$ についてそれぞれ微分したものを足し合わせればよいので、 $y=x^2+x$ を微分すると $y'=2x+1$ と計算できます。

【例題】

次の3つの関数をxについて微分するとどうなるでしょうか。

$y=-x^3$
$y=7x+10x^2$
$y=3x^2-6x+3$

【こたえ】

$-3x^2$
$7+20x$
$6x-6$

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