数学ノート
統計学で使う数学

積分の使用例

統計を学ぶ際、次のような場合に積分を計算することがあります。いくつかの関数を例に、実際に計算した例を紹介します。

確率を計算する
期待値を計算する
分散を計算する
中央値を計算する

確率を計算する

例題：次の分布に従う確率変数 $X$ について、 $P(0.5 \leq X \leq 2)$ を求めてみましょう。

$\begin{eqnarray*} f(X)=\left\{ \begin{array}{ll} \vspace{3mm} \displaystyle 0 & ( X < 0) \\ \vspace{3mm} \displaystyle \frac{1}{8}X & (0 \leq X \leq 4) \\ 0 & (4 < X)\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

$f(x)$ のグラフは次の通りです。

解答例

$f(x)$ を0.5から2まで積分した値が答えです。

$\displaystyle P(0.5 \leq X \leq 2)= \int_{0.5}^{2} f(x) dx = \int_{0.5}^{2} \frac{1}{8}x dx$

$\displaystyle = \left[ \frac{1}{16} x^2 \right]_{0.5}^{2} = \frac{2^2}{16} - \frac{0.5^2}{16}$

$\displaystyle = \frac{2^2}{16} - \frac{0.5^2}{16} = \frac{15}{64}$

期待値を計算する

例題：次の分布に従う確率変数 $X$ について、 $E(X)$ を求めてみましょう。

$\begin{eqnarray*} f(X)=\left\{ \begin{array}{ll} \vspace{3mm} \displaystyle 0 & ( X < 0) \\ \vspace{3mm} \displaystyle - \frac{3X(X-2)}{4} & (0 \leq X \leq 2) \\ 0 & (2 < X)\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

$f(x)$ のグラフは次の通りです。

解答例

$xf(x)$ を0から2まで積分した値が答えです。

$\displaystyle E(X)= \int_{0}^{2} xf(x) dx = \int_{0}^{2} -x \frac{3x(x-2)}{4} dx$

$\displaystyle = -\frac{3}{4}\int_{0}^{2} x^2(x-2) dx = -\frac{3}{4}\int_{0}^{2} x^3-2x^2 dx$

$\displaystyle = -\frac{3}{4} \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{2} = -\frac{3}{4} \left\{ \left( 4- \frac{16}{3} \right) - \left( 0-0 \right) \right\}$

$\displaystyle = \left( -\frac{3}{4} \right) \cdot \left( - \frac{4}{3} \right) = 1$

分散を計算する

例題：次の分布に従う確率変数 $X$ について、 $V(X)$ を求めてみましょう。

$f(x)$ のグラフは前問と同じで、次の通りです。

解答例

$\left( X-E(X) \right)^2 f(x)$ を0から2まで積分した値が答えです。直前の例題より、 $E(X)=1$ とわかっているため、 $\left( X-1 \right)^2 f(x)$ を計算すればよいことがわかります。

$\displaystyle V(X)= \int_{0}^{2} \left(x -1 \right)^2 f(x) dx = \int_{0}^{2} (x^2 -2x +1) f(x) dx$

このままだと計算しにくいので、少し変形しましょう。

$= \displaystyle \int_{0}^{2} x^2 f(x) dx - \int_{0}^{2} 2x f(x) dx + \int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{2} x^2 f(x) dx -1$

$= \displaystyle \int_{0}^{2} -x^2 \frac{3x(x-2)}{4} dx -1 = - \frac{3}{4} \int_{0}^{2} x^4-2x^3 dx -1$

$= \displaystyle -\frac{3}{4} \left[ \frac{x^5}{5}- \frac{x^4}{2} \right]_{0}^{2} -1$

$= \displaystyle -\frac{3}{4} \left\{ \left( \frac{32}{5} - 8 \right) - \left( 0 -0 \right) \right\} -1$

$= \displaystyle -\frac{3}{4} \left( - \frac{8}{5} \right) -1 = \frac{1}{5}$

中央値を計算する

例題：次の分布に従う確率変数 $X$ について、中央値を求めてみましょう。

$\begin{eqnarray*} f(X)=\left\{ \begin{array}{ll} \vspace{3mm} \displaystyle 0 & \left( X < 9 \right) \\ \vspace{3mm} \displaystyle \frac{X}{18} - \frac{1}{2} & \left( 9 \leq X \leq 15 \right) \\ 0 & \left( 15 < X \right)\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

$f(x)$ のグラフは次の通りです。

解答例

$f(x)$ の累積確率 $F(x) = P(X \leq x)$ が0.5となる点を求めます。まずは、 $F(x)$ を計算します。

$\displaystyle F(x) = \int_{9}^{x} f(t) dt = \int_{9}^{x} \frac{t}{18} -\frac{1}{2} dt$

$\displaystyle =\left[ \frac{t^2}{36} -\frac{t}{2} \right]_{9}^{x} = \left( \frac{x^2}{36} -\frac{x}{2} \right) -\left( \frac{81}{36} -\frac{9}{2} \right)$

$\displaystyle = \frac{x^2}{36} -\frac{x}{2} + \frac{9}{4}$

F(x)のグラフは次のようになります。

中央値は $F(x)=0.5$ となる点です。グラフ上で図示すると、赤い線とx軸が交わる点です。

上で求めた $F(x)$ を代入すると、次の2次方程式となります。

$\vspace{3mm} \displaystyle \frac{x^2}{36} -\frac{x}{2} + \frac{9}{4} = \frac{1}{2} \\ \Longleftrightarrow x^2 -18x + 63 = 0 \\ \Longleftrightarrow x = 9 \pm 3\sqrt{2}$

解が2つ出てきましたが、Xは $9 \leq X \leq 15$ を満たす必要があります。このことから、 $9- 3 \sqrt{2}$ は9より小さいため不適であり、中央値は $9+ 3 \sqrt{2}$ であることがわかります。

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