- 数学ノート
- 統計学で使う数学
積分の使用例
統計を学ぶ際、次のような場合に積分を計算することがあります。 いくつかの関数を例に、実際に計算した例を紹介します。
確率を計算する
例題:次の分布に従う確率変数について、
を求めてみましょう。
のグラフは次の通りです。
![](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2018/04/68b840395304b7e1fd286cbf96d0aa7a.png)
解答例
を0.5から2まで積分した値が答えです。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P(0.5 \leq X \leq 2)= \int_{0.5}^{2} f(x) dx = \int_{0.5}^{2} \frac{1}{8}x dx](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b8af1601da5ab9ede67d6ed9023c103f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle = \left[ \frac{1}{16} x^2 \right]_{0.5}^{2} = \frac{2^2}{16} - \frac{0.5^2}{16}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-661ac5110c41842e384a87c6a8a9a8bc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle = \frac{2^2}{16} - \frac{0.5^2}{16} = \frac{15}{64}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f2003703af7ec9b118ab37a05068a0ad_l3.png)
期待値を計算する
例題:次の分布に従う確率変数について、
を求めてみましょう。
のグラフは次の通りです。
![](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2018/04/441c6ae3b17cb6478443617fdc89d53e.png)
解答例
を0から2まで積分した値が答えです。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle E(X)= \int_{0}^{2} xf(x) dx = \int_{0}^{2} -x \frac{3x(x-2)}{4} dx](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-499bdb9b3e9fac0d32af9a6093dcb7ce_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle = -\frac{3}{4}\int_{0}^{2} x^2(x-2) dx = -\frac{3}{4}\int_{0}^{2} x^3-2x^2 dx](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-73e4cbf61a494de938494aecdf4d9593_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle = -\frac{3}{4} \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{2} = -\frac{3}{4} \left\{ \left( 4- \frac{16}{3} \right) - \left( 0-0 \right) \right\}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30ecbf90f06a829fa994ba829ca87fbe_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle = \left( -\frac{3}{4} \right) \cdot \left( - \frac{4}{3} \right) = 1](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1a897d350d55b06b70a0ff61f14b940f_l3.png)
分散を計算する
例題:次の分布に従う確率変数について、
を求めてみましょう。
のグラフは前問と同じで、次の通りです。
![](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2018/04/441c6ae3b17cb6478443617fdc89d53e.png)
解答例
を0から2まで積分した値が答えです。直前の例題より、
とわかっているため、
を計算すればよいことがわかります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle V(X)= \int_{0}^{2} \left(x -1 \right)^2 f(x) dx = \int_{0}^{2} (x^2 -2x +1) f(x) dx](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-386de12072bbe51c1ed1d8d67d4b459d_l3.png)
このままだと計算しにくいので、少し変形しましょう。
![Rendered by QuickLaTeX.com = \displaystyle \int_{0}^{2} x^2 f(x) dx - \int_{0}^{2} 2x f(x) dx + \int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{2} x^2 f(x) dx -1](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75a8322bbc6e3af69c6a86f9799e5182_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \displaystyle \int_{0}^{2} -x^2 \frac{3x(x-2)}{4} dx -1 = - \frac{3}{4} \int_{0}^{2} x^4-2x^3 dx -1](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-20fc932448950df778cd079ec58db8b2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \displaystyle -\frac{3}{4} \left[ \frac{x^5}{5}- \frac{x^4}{2} \right]_{0}^{2} -1](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a640cc43bcbca168ed672a52cffe1326_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \displaystyle -\frac{3}{4} \left\{ \left( \frac{32}{5} - 8 \right) - \left( 0 -0 \right) \right\} -1](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13fadab3b6a1dc6fd55f3e883973f8d4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \displaystyle -\frac{3}{4} \left( - \frac{8}{5} \right) -1 = \frac{1}{5}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c1979d2e329adaef146033ac369735d1_l3.png)
中央値を計算する
例題:次の分布に従う確率変数について、中央値を求めてみましょう。
のグラフは次の通りです。
![](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2018/04/2fc62106326f76875754c184548454ca.png)
解答例
の累積確率
が0.5となる点を求めます。まずは、
を計算します。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle F(x) = \int_{9}^{x} f(t) dt = \int_{9}^{x} \frac{t}{18} -\frac{1}{2} dt](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e6926309ed90ae39bdfc8deeeea7eff3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle =\left[ \frac{t^2}{36} -\frac{t}{2} \right]_{9}^{x} = \left( \frac{x^2}{36} -\frac{x}{2} \right) -\left( \frac{81}{36} -\frac{9}{2} \right)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47ffb169cb3e471dcd743704ad40dd0b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle = \frac{x^2}{36} -\frac{x}{2} + \frac{9}{4}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-36b857f5cd6b8beebc12010830004521_l3.png)
F(x)のグラフは次のようになります。
![](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2018/04/0334fbb48732355949ef3056c11a55da.png)
中央値はとなる点です。グラフ上で図示すると、赤い線とx軸が交わる点です。
![](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2018/04/1405aa3dc3db54efe7e7aff91aa86c56.png)
上で求めたを代入すると、次の2次方程式となります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \vspace{3mm} \displaystyle \frac{x^2}{36} -\frac{x}{2} + \frac{9}{4} = \frac{1}{2} \\ \Longleftrightarrow x^2 -18x + 63 = 0 \\ \Longleftrightarrow x = 9 \pm 3\sqrt{2}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-03f98f32a367d5a8e6301cf0114309a4_l3.png)
解が2つ出てきましたが、Xはを満たす必要があります。このことから、
は9より小さいため不適であり、中央値は
であることがわかります。