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  • Step2. 中級編
  • 3. 離散型確率分布

3-1. 二項分布

13-1章で、成功確率pのベルヌーイ試行をn回行うときにちょうどx回成功する確率、すなわちX=xとなる確率は次の式から計算できることを学びました。

    \begin{eqnarray*} P(X=x)= {}_{n} \mathrm{C}_{x} p^{x} (1-p)^{n-x} & (x=0,1,2,\cdots,n) \\ \end{eqnarray*}

この式から二項分布Bi(n, p)の期待値を求めてみます。

■期待値の算出

    \begin{eqnarray*} \displaystyle E[X] &=& \sum^{n}_{i=0} x \times p_i \\ &=& \sum_{x=0}^n x \times {}_{n} \mathrm{C}_{x} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n x \times n \times \frac{1}{x} \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n n \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n n \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n np \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& np\sum_{x=1}^n {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ \end{eqnarray*}

ここで、n'=n-1、x'=x-1とおくと

    \begin{eqnarray*} \displaystyle &=& np\sum_{x=1}^n {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& np\sum_{x'=0}^n {}_{n'} \mathrm{C}_{x'} \times p^{x'} (1-p)^{n'-x'} \\ \end{eqnarray*}

\displaystyle \sum_{x'=0}^n {}_{n'} \mathrm{C}_{x'} \times p^{x'} (1-p)^{n'-x'}は二項分布の確率の総和であることから「1」になります。したがって、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle &=& np\sum_{x'=0}^n {}_{n'} \mathrm{C}_{x'} \times p^{x'} (1-p)^{n'-x'} \\ &=& np \\ \end{eqnarray*}

となります。

■分散の算出

分散を求めるには、V[X]=E[X^2] - \left\{E[X] \right\}^2を使います。まずE[X^2]を求めます。

    \begin{eqnarray*} \displaystyle E[X^2] &=& \sum^{n}_{i=1} x^2 \times p_i \\ &=& \sum_{x=0}^n x^2 \times {}_{n} \mathrm{C}_{x} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n x^2 \times n \times \frac{1}{x} \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n x \times n \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n x \times n \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n np \times x \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& np\sum_{x=1}^n x \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& np\sum_{x=1}^n (x-1+1) \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& np \left\{ \sum_{x=1}^n (x-1) \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} + \sum_{x=1}^n {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \right\} \\ \end{eqnarray*}

ここで、\displaystyle \sum_{x=1}^n (x-1) \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x}は期待値の算出式から(n-1)pとなります。また、\displaystyle \sum_{x=1}^n {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x}は二項分布の確率の総和であることから「1」になります。したがって、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle &=& np \left\{ \sum_{x=1}^n (x-1) \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} + \sum_{x=1}^n {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \right\} \\ &=& np \left\{ (n-1)p + 1 \right\} \\ \end{eqnarray*}

となります。次に\left\{E[X] \right\}^2を求めます。

\displaystyle \left\{E[X] \right\}^2 = (np)^2

これらを使って分散V[X]を求めると、

    \begin{eqnarray*} \displaystyle V[X] &=& E[X^2] - \left\{E[X] \right\}^2 \\ &=& np \left\{ (n-1)p + 1 \right\} - (np)^2 \\ &=& np-np^2 \\ &=& np(1-p) \\ \end{eqnarray*}

となります。

■モーメント母関数を用いた期待値の算出

2-1章で学んだモーメント母関数を使って期待値を算出してみます。まずはじめに二項分布のモーメント母関数を求めます。

    \begin{eqnarray*} \displaystyle M_X(t) &=& E[e^{tX}] \\ &=& \sum_{x}{e^{tx}f(x)} \\ &=& \sum_{x}{e^{tx} \times {}_{n}\mathrm{C}_{x} p^{x} (1-p)^{n-x}} \\ &=& \sum_{x}{{}_{n}\mathrm{C}_{x} e^{tx} p^{x} (1-p)^{n-x}} \\ &=& \sum_{x}{{}_{n}\mathrm{C}_{x} (e^{t}p)^{x} (1-p)^{n-x}} \\ \end{eqnarray*}

二項定理より

    \begin{eqnarray*} \displaystyle &=& \sum_{x}{{}_{n}\mathrm{C}_{x} (e^{t}p)^{x} (1-p)^{n-x}} \\ &=& (e^{t}p+1-p)^{n} \\ \end{eqnarray*}

となります。2-1章で学んだように

\displaystyle M'_X(0) = E[X]

であることから、まずM_X(t)をtで1回微分します。

\displaystyle M'_X(t) = npe^{t}(e^{t}p+1-p)^{n-1}

0を代入すると

\displaystyle M'_X(0) = E[X] = np(p+1-p)^{n-1} = np

となります。

■モーメントを用いた分散の算出

2-1章で学んだように

\displaystyle M''_X(0) = E[X^2]

であることから、M_X(t)をtで2回微分します。

    \begin{eqnarray*} \displaystyle M''_X(t) &=& \left\{npe^{t}(e^{t}p+1-p)^{n-1}\right\}' \\ &=& npe^{t}(e^{t}p+1-p)^{n-1} + npe^{t}(n-1)pe^{t}(e^{t}p+1-p)^{n-2} \\ &=& npe^{t}(e^{t}p+1-p)^{n-1} + n(n-1)p^{2}e^{2t}(e^{t}p+1-p)^{n-2} \\ \end{eqnarray*}

0を代入すると

    \begin{eqnarray*} \displaystyle M''_X(0) &=& E[X^2] \\ &=& np(p+1^p)^{n-1} + n(n-1)p^{2}(p+1-p)^{n-2} \\ &=& np+n(n-1)p^{2} \end{eqnarray*}

となることから、V[X]は次のように計算できます。

    \begin{eqnarray*} \displaystyle V[X] &=& E[X^2] - \left\{E[X] \right\}^2 \\ &=& np+n(n-1)p^{2}-(np)^2 \\ &=& np+(np)^2-np^2-(np)^2 \\ &=& np-np^2 \\ &=& np(1-p) \end{eqnarray*}

3. 離散型確率分布

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