次のような袋の中から赤い玉が1つ取り出された時、この赤い玉に「1」と書かれている確率は、条件付き確率の式からとなります。

例題1：

この袋にさらに「1」と書かれた白い玉3個を加えます。この袋の中から玉を1つ取り出した時、その玉は赤色でした。この赤い玉に「1」と書かれている確率はいくらでしょうか。

取り出された玉の色が赤である事象をB、玉に書かれている数字が「1」である事象をAとするとき、「取り出された玉の色が赤色で、その玉に書かれた数字が「1」であるという条件付き確率」は次のように計算されます。

一方、この袋の中には「1」と書かれた玉は6個あることから、取り出した玉の色を考慮しない場合、取り出した玉に書かれている数字が「1」となる確率は次のようになります。

つまり、取り出した玉が赤という情報があっても無くても、「1」と書かれた玉が取り出される確率はとなります。このように、事象Aの起こる確率が事象Bの影響を受けないとき、すなわち次の式が成り立つとき、事象Aと事象Bは「独立である」といいます。

【コラム】独立と排反のちがい

独立と混同しやすいものに「排反」があります。排反とは「事象Aと事象Bが互いに排反ならば、事象Bが起こったときに事象Aは起こらない」ということを意味します。条件付き確率の式を用いて表すと次のようになります。