Step2. 中級編
6. ノンパラメトリック検定

6-3. ノンパラメトリック検定 – 対応のない2標本の差の検定

24-4章で対応のない2標本t検定について学びました。t検定は2つの群の母集団の分散が等しく、ともに独立した正規分布に従うことを前提としています。

ここでは、対応のない2標本t検定のノンパラメトリック検定版である「ウィルコクソンの順位和検定」と「並べ替え検定」について学びます。

■ウィルコクソンの順位和検定

まず、比較する2標本の全体の値に対して順位をつけます。タイデータに対しては、順位の中央値を使用します。付与した順位を標本ごとに足し合わせ、順位の合計値を算出します。ここでは2つの標本を $A$ と $B$ とし、順位の合計値をそれぞれ $W_A$ と $W_B$ 、サンプルサイズをそれぞれ $n_A$ と $n_B$ とします。2つの合計順位のうち小さい方を検定統計量 $W=min(W_A, W_B)$ とします。順位の全ての組み合わせ ${n_A+n_B}_C_{n_A}$ のうち、 $W$ が観測値以下の値を取る確率がP値となります。

また、サンプルサイズが大きい場合は、次の式より得られた $E(W)$ と $V(W)$ から算出された $\displaystyle \frac{W-E(W)}{\sqrt{V(W)}}$ が正規分布に従うことを利用して検定を行います。

【タイ（同順位）データが無い場合】

ここでは $W_A<W_B (W=W_A)$ とします。

$\displaystyle E(W) = \frac{n_A(n_A + n_B +1)}{2}$

$\displaystyle V(W) = \frac{n_A n_B(n_A + n_B +1)}{12}$

【タイデータがある場合】

$n_{t}$ はタイデータの個数を、 $t_i$ は各タイデータ含まれるデータの数を表します。

$\displaystyle E(W) = \frac{n_A(n_A + n_B +1)}{2}$

$\displaystyle V(W) = \frac{n_A n_B(n_A + n_B +1)}{12} - \frac{n_A n_B \displaystyle \sum_{i = 1}^{n_{t}} t_i({t_i}^2-1)}{12(n_A + n_B)(n_A + n_B -1)}$

まず、サンプルサイズが小さいデータを使ってウィルコクソンの順位和検定を行ってみます。

No.	Aチームの年齢	Bチームの年齢
1	26	30
2	32	35
3	25	36
4	20	-

全体の値に対して順位を付与

No.	Aチームの年齢	Bチームの年齢
1	3	4
2	5	6
3	2	7
4	1	-

標本ごとに順位の和を算出

No.	Aチームの年齢	Bチームの年齢
1	3	4
2	5	6
3	2	7
4	1	-
合計	11	17

ウィルコクソンの順位和検定を行う

この例題では $W_A<W_B$ であることから、 $W=11$ となります。 $W \leq 11$ となる組み合わせは

(A, B) = ({1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7}) ※ $W=10$
(A, B) = ({1, 2, 3, 5}, {4, 6, 7}) ※ $W=11$

の2通りです。順位の全ての組み合わせは $_{7}C_{4}=35$ なので、 $W \leq 11$ となる確率（片側検定のP値）を求めると $\displaystyle P=\frac{2}{35} = 0.057$ となります。

両側検定のP値を求めると $P=0.057\times 2 = 0.114$ となります。すなわち2群間で年齢の分布に有意差があるとは言えないと結論付けられます。

次に、タイデータを含まないデータから算出した $E(W)$ と $V(W)$ を使ってウィルコクソンの順位和検定を行ってみます。

No.	Aチームの年齢	Bチームの年齢
1	26	30
2	32	35
3	25	36
4	20	28
5	29	31

全体の値に対して順位を付与

No.	Aチームの年齢	Bチームの年齢
1	3	6
2	8	9
3	2	10
4	1	4
5	5	7

標本ごとに順位の和を算出

No.	Aチームの年齢	Bチームの年齢
1	3	6
2	8	9
3	2	10
4	1	4
5	5	7
合計	19	36

ウィルコクソンの順位和検定を行う

この例題では $W_A<W_B$ であることから、 $W=19$ となります。

$\displaystyle E(W) = \frac{5(5 + 5 +1)}{2} = 27.5$

$\displaystyle V(W) = \frac{5 \times 5(5 + 5 +1)}{12} = 22.92$

これらの値から算出したz値を用いて検定を行います。

$\displaystyle z = \frac{W-E(W)}{\sqrt{V(W)}} = \frac{19-27.5}{\sqrt{22.92}} = -1.775$

標準正規分布表より $P>z$ となる確率（片側検定のP値）を求めると $P=0.0379$ となります。

$P>|z|$ となる確率（両側検定のP値）を求めると $P=0.379 \times 2 = 0.0758$ となります。すなわち2群間で年齢の分布に有意差があるとは言えないと結論付けられます。

最後に、タイデータを含むデータから算出した $E(W)$ と $V(W)$ を使ってウィルコクソンの順位和検定を行ってみます。

No.	Aチームの年齢	Bチームの年齢
1	25	30
2	32	35
3	25	36
4	20	28
5	29	30

全体の値に対して順位を付与

No.	Aチームの年齢	Bチームの年齢
1	2.5	6.5
2	8	9
3	2.5	10
4	1	4
5	5	6.5

標本ごとに順位の和を算出

No.	Aチームの年齢	Bチームの年齢
1	2.5	6.5
2	8	9
3	2.5	10
4	1	4
5	5	6.5
合計	19	36

ウィルコクソンの順位和検定を行う

この例題では $W_A<W_B$ であることから、 $W=19$ となります。

$\displaystyle E(W) = \frac{5(5 + 5 +1)}{2} = 27.5$

$\displaystyle V(W) = \frac{5 \times 5(5 + 5 +1)}{12} - \frac{5 \times 5 \times (2(2^2-1) + 2(2^2-1))}{12(5 + 5)(5 + 5 -1)} = 22.92 - 0.28 = 22.64$

これらの値から算出したz値を用いて検定を行います。

$\displaystyle z = \frac{W-E(W)}{\sqrt{V(W)}} = \frac{19-27.5}{\sqrt{22.91}} = -1.786$

$P>|z|$ となる確率（両側検定のP値）を求めると $P=0.0740$ となります。

■並べ替え検定（permutation test）

すべてのデータを使って並び替えて得られた全ての組み合わせのうち、元データの組み合わせの平均値の差より大きな値が得られる確率を算出し、この確率を元に検定を行う方法です。データにタイデータを含んでいてもいなくても、計算方法は変わりません。

次のデータを使って並べ替え検定を行ってみます。

No.	Aチームの年齢	Bチームの年齢
1	26	28
2	30	35
3	25	36

すべてのデータを用いて2群に分ける全ての組み合わせを考える

全部で6個のデータを3個ずつ2群に分けるので、 $_6C_3=20$ で20通りの組み合わせが存在します。

No.	Aチームの組み合わせ	Bチームの組み合わせ
1	25, 26, 28	30, 35, 36
2	25, 26, 30	28, 35, 36
3	25, 26, 35	30, 28, 36
4	25, 26, 36	30, 35, 28
5	25, 28, 30	26, 35, 36
6	25, 28, 35	26, 30, 36
7	25, 28, 36	26, 30, 35
8	25, 30, 35	26, 28, 36
9	25, 30, 36	26, 28, 35
10	25, 35, 36	26, 28, 30
11	26, 28, 30	25, 35, 36
12	26, 28, 35	25, 30, 36
13	26, 28, 36	25, 30, 35
14	26, 30, 35	25, 28, 36
15	26, 30, 36	25, 28, 35
16	26, 35, 36	25, 28, 30
17	28, 30, 35	25, 26, 36
18	28, 30, 36	25, 26, 35
19	28, 35, 36	25, 26, 30
20	30, 35, 36	25, 26, 28

20通りの組み合わせそれぞれの平均値の差を求める

No.	Aチームの組み合わせ	Bチームの組み合わせ	平均値の差（B-A）
1	25, 26, 28	30, 35, 36	7.3
2	25, 26, 30	28, 35, 36	6
3	25, 26, 35	30, 28, 36	2.7
4	25, 26, 36	30, 35, 28	2
5	25, 28, 30	26, 35, 36	4.7
6	25, 28, 35	26, 30, 36	1.3
7	25, 28, 36	26, 30, 35	0.7
8	25, 30, 35	26, 28, 36	0
9	25, 30, 36	26, 28, 35	-0.7
10	25, 35, 36	26, 28, 30	-4
11	26, 28, 30	25, 35, 36	4
12	26, 28, 35	25, 30, 36	0.7
13	26, 28, 36	25, 30, 35	0
14	26, 30, 35	25, 28, 36	-0.7
15	26, 30, 36	25, 28, 35	-1.3
16	26, 35, 36	25, 28, 30	-4.7
17	28, 30, 35	25, 26, 36	-2
18	28, 30, 36	25, 26, 35	-2.7
19	28, 35, 36	25, 26, 30	-6
20	30, 35, 36	25, 26, 28	-7.3

観測された組み合わせ以上に差が大きくなる組み合わせを選ぶ

この例題ではハイライトで示した2つの組み合わせが、観測された組み合わせのときの平均値の差B-A=6以上となる組み合わせです。

No.	Aチームの組み合わせ	Bチームの組み合わせ	平均値の差（B-A）
1	25, 26, 28	30, 35, 36	7.3
2	25, 26, 30	28, 35, 36	6
5	25, 28, 30	26, 35, 36	4.7
11	26, 28, 30	25, 35, 36	4
3	25, 26, 35	30, 28, 36	2.7
4	25, 26, 36	30, 35, 28	2
6	25, 28, 35	26, 30, 36	1.3
7	25, 28, 36	26, 30, 35	0.7
12	26, 28, 35	25, 30, 36	0.7
8	25, 30, 35	26, 28, 36	0
13	26, 28, 36	25, 30, 35	0
9	25, 30, 36	26, 28, 35	-0.7
14	26, 30, 35	25, 28, 36	-0.7
15	26, 30, 36	25, 28, 35	-1.3
17	28, 30, 35	25, 26, 36	-2
18	28, 30, 36	25, 26, 35	-2.7
10	25, 35, 36	26, 28, 30	-4
16	26, 35, 36	25, 28, 30	-4.7
19	28, 35, 36	25, 26, 30	-6
20	30, 35, 36	25, 26, 28	-7.3