3-5. 歪度と尖度

■歪度（わいど）

分布が正規分布からどれだけ歪んでいるかを表す統計量で、左右対称性を示す指標のことです。サンプルサイズをn、各データ $x_i (i\colon 1, 2, \cdots, n)$ の平均値を $\overline{x}$ 、標準偏差をsとすると歪度は次の式から求められます。

$\displaystyle \frac{n}{(n - 1)(n - 2)} \sum_{i = 1}^n \left(\frac{x_i - \overline{x}}{s}\right)^3$

「右裾が長い」もしくは「右に歪んだ」もしくは「左に偏った」分布のときには正の値を、「左裾が長い」もしくは「左に歪んだ」もしくは「右に偏った」分布のときには負の値をとります。左右対称の分布（例えば正規分布）の場合には0になります。

例えば、3-2章で用いた生徒の身長のデータから歪度を算出すると次のようになります（※この図に示した歪度は、すべてのデータが階級値をとった場合の値です）。

分布が正規分布からどれだけ尖っているかを表す統計量で、山の尖り度と裾の広がり度を示します。サンプルサイズをn、各データ $x_i (i\colon 1, 2, \cdots, n)$ の平均値を $\overline{x}$ 、標準偏差をsとすると尖度は次の式から求められます。

$\displaystyle \frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} \displaystyle \sum_{i = 1}^n \frac{(x_i - \overline{x})^4}{s^4} - \frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)}$

正規分布より尖った分布（データが平均付近に集中し、分布の裾が重い）のときには正の値を、正規分布より扁平な分布（データが平均付近から散らばり、分布の裾が軽い）のときには負の値をとります。正規分布の場合には0になります。

例えば、3-2章で用いた生徒の身長のデータ（一部改変）から尖度を算出すると次のようになります（※この図に示した尖度は、すべてのデータが階級値をとった場合の値です）。

尖度には2つの定義があります。この章で説明した「0を基準とする」定義のほか、「3を基準とする」定義があります（詳しくはこちら）。