Step2. 中級編
3. 離散型確率分布

3-3. 幾何分布

成功確率が $p$ である独立なベルヌーイ試行を繰り返す時、初めて成功するまでの試行回数 $X$ が従う確率分布を幾何分布といいます。確率変数が幾何分布に従う場合、成功確率が $p$ の試行において、 $x$ 回目で初めて成功する確率は次の式から計算できます。

$\begin{eqnarray*} P(X=x)=(1-p)^{x-1} p & (x=1,2,3,\cdots) \\ \end{eqnarray*}$

この式から幾何分布 $Ge(p)$ の期待値を求めてみます。

■期待値の算出

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X] &=& \sum^{n}_{x=1} x \times p_x \\ &=& \sum_{x=1}^n x \times (1-p)^{x-1} p \\ &=& p \sum_{x=1}^n x \times (1-p)^{x-1} \\ &=& p \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 2 \times (1-p)^{1} + 3 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ \end{eqnarray*}$

となります。ここで、 $(1-p)E[X]$ を求めると、

$\begin{eqnarray*} \displaystyle (1-p)E[X] &=& p (1-p)\left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 2 \times (1-p)^{1} + 3 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ &=& p \left\{ 1 \times (1-p)^{1} + 2 \times (1-p)^{2} + 3 \times (1-p)^{3} + \dots \right\} \\ \end{eqnarray*}$

となります。 $E[X]-(1-p)E[X]$ を求めると、

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X]-(1-p)E[X] &=& pE[X] \\ &=& p \left\{ (1-p)^{0} + (1-p)^{1} + (1-p)^{2} + (1-p)^{3} + \dots \right\} \\ &=& p \sum_{x=0}^n (1-p)^{x} \\ E[X] &=& \sum_{x=0}^n (1-p)^{x} \\ \end{eqnarray*}$

となることから、等比数列の和の公式より

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E(X) &=& \frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)} \\ \end{eqnarray*}$

ここで $n \to \infty$ を考えると

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X] &=& \lim_{n \to \infty} \frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)} \\ &=& \frac{1}{p} \\ \end{eqnarray*}$

となります。

■分散の算出

分散を求めるには、 $V[X]=E[X^2] - \left\{E[X] \right\}^2$ を使います。まず $E[X^2]$ を求めます。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X^2] &=& \sum^{n}_{x=1} x^2 \times p_x \\ &=& \sum_{x=1}^n x^2 \times (1-p)^{x-1} p \\ &=& p \sum_{x=1}^n x^2 \times (1-p)^{x-1} \\ &=& p \left\{ 1^2 \times (1-p)^{0} + 2^2 \times (1-p)^{1} + 3^2 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ \end{eqnarray*}$

となります。ここで、 $(1-p)E[X^2]$ を求めると、

$\begin{eqnarray*} \displaystyle (1-p)E[X^2] &=& p (1-p)\left\{ 1^2 \times (1-p)^{0} + 2^2 \times (1-p)^{1} + 3^2 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ &=& p \left\{ 1^2 \times (1-p)^{1} + 2^2 \times (1-p)^{2} + 3^2 \times (1-p)^{3} + \dots \right\} \\ \end{eqnarray*}$

となります。 $E[X^2]-(1-p)E[X^2]$ を求めると、

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X^2]-(1-p)E[X^2] &=& pE[X^2] \\ &=& p \left\{ 1^2 \times (1-p)^{0} + (2^2-1^2) \times (1-p)^{1} + (3^2-2^2) \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ &=& p \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 3 \times (1-p)^{1} + 5 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ \end{eqnarray*}$

この式を整理すると

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X^2] &=& \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} \\ \end{eqnarray*}$

となります。この式をよく見ると、等差数列と等比数列の積になっています。公比 $(1-p)$ をかけた式を作り、 $E[X^2]-(1-p)E[X^2]$ を計算します。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X^2]-(1-p)E[X^2] &=& pE[X^2] \\ &=& \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} - (1-p)\sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} \\ &=& \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} - \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x+1} \\ &=& \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 3 \times (1-p)^{1} + 5 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ && - \left\{ 1 \times (1-p)^{1} + 3 \times (1-p)^{2} + 5 \times (1-p)^{3} + \dots \right\} \\ &=& \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 2 \times (1-p)^{1} + 2 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ &=& 1 + 2 \times \sum_{x=1}^n (1-p)^{x} \\ \end{eqnarray*}$

となります。等比数列の和の公式を利用すると

$\begin{eqnarray*} \displaystyle pE[X^2] &=& 1 + 2(1-p) \times \frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)} \\ &=& \frac{p+\{2(1-p)\}\{1-(1-p)^n\}}{p} \\ E[X^2] &=& \frac{p+\{2(1-p)\}\{1-(1-p)^n\}}{p^2} \\ \end{eqnarray*}$

ここで $n \to \infty$ を考えると

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X^2] &=& \lim_{n \to \infty} \frac{p+\{2(1-p)\}\{1-(1-p)^n\}}{p^2} \\ &=& \frac{p+\{2(1-p)\}}{p^2} \\ &=& \frac{2-p}{p^2} \\ \end{eqnarray*}$

となります。次に $\left\{E[X] \right\}^2$ を求めます。

$\displaystyle \left\{E[X] \right\}^2 = \frac{1}{p^2}$

これらを使って分散 $V[X]$ を求めると、

$\begin{eqnarray*} \displaystyle V[X] &=& E[X^2] - \left\{E[X] \right\}^2 \\ &=& \frac{2-p}{p^2} - \frac{1}{p^2} \\ &=& \frac{1-p}{p^2} \\ \end{eqnarray*}$

となります。

■モーメント母関数を用いた期待値の算出

2-1章で学んだモーメント母関数を使って期待値を算出してみます。まずはじめに幾何分布のモーメント母関数を求めます。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle M_X(t) &=& E[e^{tX}] \\ &=& \sum_{x}{e^{tx}f(x)} \\ &=& \sum_{x}{e^{tx} \times (1-p)^{x-1} p} \\ &=& \frac{p}{1-p}\sum_{x}{e^{tx} \times (1-p)^{x}} \\ &=& \frac{p}{1-p}\sum_{x} {\{e^{t}(1-p)\}^{x}} \\ \end{eqnarray*}$

となることから、等比数列の和の公式より

$\begin{eqnarray*} &=& pe^{t}\sum_{x}{\{e^{t}(1-p)\}^{x-1}} \\ &=& \lim_{n \to \infty} \frac{p}{1-p} \times e^{t}(1-p) \times \frac{1-\{e^{t}(1-p)\}^{n}}{1-e^{t}(1-p)} \\ \end{eqnarray*}$

この式は $\{e^{t}(1-p)\}<1$ のときに収束します。このとき、

$\begin{eqnarray*} &=& \lim_{n \to \infty} \frac{p}{1-p} \times e^{t}(1-p) \times \frac{1-\{e^{t}(1-p)\}^{n}}{1-e^{t}(1-p)} \\ &=& \frac{p}{1-p} \times e^{t}(1-p) \times \frac{1}{1-e^{t}(1-p)} \\ &=& \frac{pe^{t}}{1-e^{t}(1-p)} \\ \end{eqnarray*}$

となります。2-1章で学んだように

$\displaystyle M'_X(0) = E[X]$

であることから、まず $M_X(t)$ をtで1回微分します。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle M'_X(t) &=& \frac{pe^t\{1-e^t(1-p)\} + pe^t\{e^t(1-p)\}}{\{1-e^t(1-p)\}^2} \\ &=& \frac{pe^t}{\{1-e^t(1-p)\}^2} \\ \end{eqnarray*}$

t=0を代入すると

$\displaystyle M'_X(0) = \frac{pe^0}{\{1-e^0(1-p)\}^2} = \frac{p}{\{1-(1-p)\}^2} = \frac{p}{p^2} = \frac{1}{p}$

となります。

■モーメントを用いた分散の算出

2-1章で学んだように

$\displaystyle M''_X(0) = E[X^2]$

であることから、 $M_X(t)$ をtで2回微分します。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle M''_X(t) &=& \frac{pe^t\{1-e^t(1-p)\}^2+pe^t \times 2\{1-e^t(1-p)\} \times e^t(1-p)}{\{1-e^t(1-p)\}^4} \end{eqnarray*}$

t=0を代入すると

$\begin{eqnarray*} \displaystyle M''_X(0) &=& \frac{p\{1-(1-p)\}^2+p \times 2\{1-(1-p)\} \times (1-p)}{\{1-(1-p)\}^4} \cr &=& \frac{p^3+2p^2(1-p)}{p}^4} \cr &=& \frac{p+2(1-p)}{p}^2} \cr \end{eqnarray*}$