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統計用語集

主成分分析
principal component analysis

多数の変数の持つ変動をなるべく少ない合成変数に要約する分析手法のこと。1933年頃にホテリング(Hotelling)によって提案された。観測変数が原因系となり、その結果系として合成変数が得られる。このとき、合成変数のことを主成分という。

もとのp個の観測変数xに重み\omega(主成分負荷量)をかけて合成したとき、第i番目の主成分z_iは、下式で表すことができる

 z = \omega_1x_1 + \omega_2x_2 + \cdots + \omega_px_p

各主成分z_iにおけるp個の\omega_{ji} (j:1, 2, …p)の2乗和は1であり、この条件のもとで分散が最大になる主成分を第1主成分(z_1)という。

次に第1主成分とは相関しない条件のもとで、分散が最大になるものを第2主成分(z_2)という。同様にして第i主成分(z_i)を求めることができる。第i主成分z_iの分散は、観測変数から得られた分散共分散行列の固有方程式を満たす固有値と等しい。

また、\omegaは固有値に対する固有ベクトルとして算出される\omega_{ji}の絶対値が大きいとき、観測変数x_jは主成分z_iへの貢献度が高いことを示す。すなわち、その主成分をより特徴づける変数であると言える。

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