Step1. 基礎編
31. 実験計画

31-5. 検出力の計算

■例題1：

母分散が $\sigma^2=10$ の正規分布に従う母集団から標本を抽出し、帰無仮説 $H_0:\mu=10$ 、対立仮説 $H_1:\mu=12$ という条件で片側検定を行います。有意水準を5%とするとき、抽出したサンプルサイズが $n=10,\ 20, \ 50$ の場合の検出力はそれぞれいくらになるでしょうか。

まず、帰無仮説 $H_0$ が正しいと仮定した場合の棄却点を求めます。

$\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} = \frac{\bar{x}-10}{\sqrt{\frac{10}{n}}} = Z_{0.05} = 1.645$

$\displaystyle \bar{x} = 1.645 \times \sqrt{\frac{10}{n}} + 10$

となることから、 $n=10$ の場合は $\bar{x}=11.64$ 、 $n=20$ の場合は $\bar{x}=11.16$ 、 $n=50$ の場合は $\bar{x}=10.73$ となります。

次に、対立仮説 $H_1$ が正しいと仮定した場合に、この棄却点以上の値を取る確率（＝検出力）を求めます。標準正規分布に従う確率変数を $X$ とします。 $n=10$ の場合、

$\displaystyle P\left(X \geq \frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}\right) = P\left(X \geq \frac{11.64-12}{\sqrt{\frac{10}{10}}}\right) = P(X \geq -0.36)$

$= 1 - P(X \leq -0.36) = 1 - P(X \geq 0.36) = 1 - 0.359 = 0.641$

$n=20$ の場合、

$\displaystyle P\left(X \geq \frac{11.16-12}{\sqrt{\frac{10}{20}}}\right) = P(X \geq -1.19) = 0.883$

$n=50$ の場合、

$\displaystyle P\left(X \geq \frac{10.73-12}{\sqrt{\frac{10}{50}}}\right) = P(X \geq -2.84) = 0.998$

となります。すなわち、検出力はそれぞれ $n=10$ の場合は $64.1\%$ 、 $n=20$ の場合は $88.3\%$ 、 $n=50$ の場合は $99.8\%$ となります。

このように、サンプルサイズが大きくなるほど検出力は向上します。したがって、実験計画においてはじめに検出力を設定することで、必要なサンプルサイズを計算することができます。

■例題2：

母分散が $\sigma^2=10$ の正規分布に従う母集団から標本を抽出し、帰無仮説 $H_0:\mu=10$ 、対立仮説 $H_1:\mu=12$ 、 $H_1:\mu=13$ 、 $H_1:\mu=14$ という条件で片側検定を行います。有意水準を5%とするとき、抽出したサンプルサイズが $n=10$ の場合の検出力はそれぞれいくらになるでしょうか。

■例題3：

母分散が $\sigma^2=10$ の正規分布に従う母集団から標本を抽出し、帰無仮説 $H_0:\mu=10$ 、対立仮説 $H_1:\mu=12$ という条件で片側検定を行います。有意水準を10%、5%、1%とするとき、抽出したサンプルサイズが $n=10$ の場合の検出力はそれぞれいくらになるでしょうか。

例題1、2、3の結果をまとめたものが次の表になります。

変化させた条件	検出力
例題1：サンプルサイズ	$n=10$ ： $64.1\%$ 、 $n=20$ ： $88.3\%$ 、 $n=50$ ： $99.8\%$
例題2：平均値の差	$\Delta=2$ ： $64.1\%$ 、 $\Delta=3$ ： $91.3\%$ 、 $\Delta=4$ ： $99.1\%$
例題3：有意水準	$\alpha=10\%$ ： $76.4\%$ 、 $\alpha=5\%$ ： $64.1\%$ 、 $\alpha=1\%$ ： $37.7\%$