- Step1. 基礎編
- 31. 実験計画
31-5. 検出力の計算
■例題1:
母分散が の正規分布に従う母集団から標本を抽出し、帰無仮説
、対立仮説
という条件で片側検定を行います。有意水準を5%とするとき、抽出したサンプルサイズが
の場合の検出力はそれぞれいくらになるでしょうか。
まず、帰無仮説 が正しいと仮定した場合の棄却点を求めます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} = \frac{\bar{x}-10}{\sqrt{\frac{10}{n}}} = Z_{0.05} = 1.645](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a15ab2bc9f4f91a19123ee538388f4e2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \bar{x} = 1.645 \times \sqrt{\frac{10}{n}} + 10](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5abc52849fa198ac18d3648e5eb01c51_l3.png)
となることから、 の場合は
、
の場合は
、
の場合は
となります。
次に、対立仮説 が正しいと仮定した場合に、この棄却点以上の値を取る確率(=検出力)を求めます。標準正規分布に従う確率変数を
とします。
の場合、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P\left(X \geq \frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}\right) = P\left(X \geq \frac{11.64-12}{\sqrt{\frac{10}{10}}}\right) = P(X \geq -0.36)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e34b4e18d07d9f5c62501c19cb49d605_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = 1 - P(X \leq -0.36) = 1 - P(X \geq 0.36) = 1 - 0.359 = 0.641](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d571fdd95346903ddf5a23f61405a43b_l3.png)
の場合、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P\left(X \geq \frac{11.16-12}{\sqrt{\frac{10}{20}}}\right) = P(X \geq -1.19) = 0.883](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-858f80e7b675ddf43199d5da1381fe1f_l3.png)
の場合、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P\left(X \geq \frac{10.73-12}{\sqrt{\frac{10}{50}}}\right) = P(X \geq -2.84) = 0.998](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bca4d478d01f55b0fab35ad1bbe379ef_l3.png)
となります。すなわち、検出力はそれぞれ の場合は
、
の場合は
、
の場合は
となります。
このように、サンプルサイズが大きくなるほど検出力は向上します。したがって、実験計画においてはじめに検出力を設定することで、必要なサンプルサイズを計算することができます。
■例題2:
母分散が の正規分布に従う母集団から標本を抽出し、帰無仮説
、対立仮説
、
、
という条件で片側検定を行います。有意水準を5%とするとき、抽出したサンプルサイズが
の場合の検出力はそれぞれいくらになるでしょうか。
■例題3:
母分散が の正規分布に従う母集団から標本を抽出し、帰無仮説
、対立仮説
という条件で片側検定を行います。有意水準を10%、5%、1%とするとき、抽出したサンプルサイズが
の場合の検出力はそれぞれいくらになるでしょうか。
例題1、2、3の結果をまとめたものが次の表になります。
変化させた条件 | 検出力 |
---|---|
例題1:サンプルサイズ | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
例題2:平均値の差 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
例題3:有意水準 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
サンプルサイズが大きいほど、効果量が大きいほど、有意水準が大きいほど検出力が向上します。