Step2. 中級編
1. 条件付き確率と事象

1-1. 条件付き確率と独立

■条件付き確率

ある事象が起こるという条件のもとで、別のある事象が起こる確率のことを「条件付き確率」と言います。例えば、事象Bが起こるという条件のもとで事象Aが起こる場合、この条件付き確率は $P(A|B)$ と表され、次の式により計算できます。

$P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

例えば、あるクラス40人に男子生徒が25人、女子生徒が15人いるとします。この中で、部活動をしているのが男子生徒15人、女子生徒5人であるとします。ここで、「部活動に入っている」という事象をA、「女子生徒である」という事象をBとすると、部活動をしている確率P(A)はクラス全体の40人を対象に考えるため、次のように計算できます。

$P(A) = \displaystyle \frac{(15+5)}{40} = \frac{1}{2}$

これは、表の水色部分を考えていることになります。

	部活動あり	部活動なし	合計
男子	15	10	25
女子	5	10	15
合計	20	20	40

一方で、女子生徒であるという条件のもとで、部活動をしている確率の場合には、女子生徒15人を対象に考えます。

$P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

これは、先ほどと異なり表の橙色部分を考えていることになります。

	部活動あり	部活動なし	合計
男子	15	10	25
女子	5	10	15
合計	20	20	40

つまり、「条件付き確率では、条件となる事象Bの中における相対的な確率を求める」と考えることができます。

■乗法定理

条件付き確率の式の両辺にP(B)をかけて次のように変形したものを「乗法定理」といいます。

$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$

■独立

一方、事象Bが起こったかどうかによって事象Aの起こる確率が変わらない場合、事象Aと事象Bは独立であるといいます。すなわち、

$P(A|B) = P(A)$

となることから、これを使って乗法定理を整理すると

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$

となります。先程のクラスの例では、

$P(A \cap B) = \displaystyle \frac{5}{40} = 0.125$

$P(A)P(B) = \displaystyle \frac{15}{40} \times \frac{20}{40} = \frac{3}{16} = 0.1875$

であることから、 $P(A \cap B) \neq P(A)P(B)$ である、すなわち「女子生徒であること」と「部活動に入っていること」は独立ではありません。次の表に示す別のクラスの場合、

	部活動あり	部活動なし	合計
男子	10	10	20
女子	10	10	20
合計	20	20	40

$P(A \cap B) = \displaystyle　\frac{10}{40} = 0.25$

$P(A)P(B) = \displaystyle　\frac{20}{40} \times \frac{20}{40} = \frac{1}{4} = 0.25$

であることから、 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ である、すなわち「女子生徒であること」と「部活動に入っていること」は独立です。

独立と混同しやすいものに「排反（はいはん）」があります。排反とは「事象Aと事象Bが互いに排反ならば、事象Bが起こったときに事象Aは同時に起こらない」ことを意味します。例えば、サイコロを1回投げて1が出る事象を事象A、2が出る事象を事象Bとします。1と2は同時に出ないため、事象Aと事象Bは互いに排反です。

$P(A \cap B) = 0$