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ガンマ分布

以下の式で表される確率分布のこと。ただし $\alpha>0$ とする。

$f(x) =\begin{cases}{0} & x < 0\\{\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}} & 0 \leq x\end{cases}$

$\Gamma(x)$ はガンマ関数を表す。確率変数 $X$ がガンマ分布に従っているとき、確率変数 $X$ の期待値は $E(X)=\displaystyle \frac{\alpha}{\lambda}$ 、分散 $V(X)=\displaystyle \frac{\alpha}{\lambda^2}$ となる。

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f(x) =\begin{cases}{0} & x < 0\\{\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1}
e^{-\lambda x}} &  0  \leq  x\end{cases}

ガンマ関数

以下の式で表される関数（ $x>0$ ）のこと。カイ二乗分布、t分布、F分布の確率密度関数の定義に利用される。 $x=1$ のときは指数分布となる。

$\Gamma(x) = \displaystyle \int_0^{\infty} e^{-t}t^{x-1} dt$

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\Gamma(x) = \displaystyle \int_0^{\infty} e^{-t}t^{x-1} dt

ExcelGAMMA , GAMMALN , GAMMA.PRESICE

感度

検査の性能を表す指標の一つ。検査で検出したい信号や疾患を有するもののうち、検査が正しく陽性と判断したものの割合。真陽性率のこと。

$\displaystyle \frac{a}{a + c}$

		疾患		合計
		あり	なし	合計
検査	陽性	a（真陽性）	b（偽陽性）	a+b
検査	陰性	c（偽陰性）	d（真陰性）	c+d
合計		a+c	b+d	a+b+c+d

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\frac{a}{a + c}

統計Tips | 2行×2列のクロス集計表の統計量

エクセル統計クロス集計表の作成と分析

完全平等線

ローレンツ曲線における対角線の直線のこと。分配が完全に均等な場合、ローレンツ曲線は完全平等線に一致する。

ローレンツ曲線

エクセル統計ローレンツ曲線とジニ係数

頑健性

ある統計的手法が、必要としている条件または仮定を少々満たしていないようなデータにおいてもほぼ妥当な結果を与えるとき、この統計的手法は頑健性があると言う。

間隔尺度

名義尺度、順序尺度の性質に加えて、等間隔性の性質も併せ持つ尺度のこと。

例えば、温度で0℃、1℃、2℃には大小関係があり、かつ等間隔でもある。しかし、摂氏と華氏の2種類の温度単位があるように、原点と単位の大きさの取り方は自由であり、間隔尺度同士の掛け算や割り算は意味をなさない。

カプラン=マイヤー法

生存時間分析の手法の一つで、生存率曲線を描くことで生存時間の推定を行う。各時点 $i$ におけるイベント総数を $d_i$ 、全観察対象者数を $n_i$ としたとき、時点 $t$ における生存関数 $\widehat{S}(t)$ は下式から算出される。

$\widehat{S} (t) = \displaystyle \prod_{i:t_i \leq t} \displaystyle \frac{n_i - d_i}{n_i}$

$\widehat{S}(t)$ はあるイベントが時間 $t$ 以下では起こらない確率を示す。横軸に時間を、縦軸に生存率をプロットしたグラフを生存率曲線と呼ぶ。

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\widehat{S} (t) = \prod_{i:t_i \leq t} \frac{n_i - d_i}{n_i}

統計解析事例 | カプラン=マイヤー法

エクセル統計カプラン=マイヤー法

カテゴリーデータ / カテゴリカルデータ

→ 質的データ

カッパ係数

ある現象を2人の観察者が観察した場合の結果がどの程度一致しているかを表す統計量。カッパ統計量や一致率とも言う。0から1までの値をとり、値が大きいほど一致度が高いといえる。

エクセル統計クロス集計表の作成と分析
エクセル統計カッパ係数

確率密度関数

連続型確率変数Xについて、ある関数 $y=f(x)$ が下式を満たすとき、 $f(x)$ は $X$ についての確率密度関数となる。

$f(x) \geq 0, \hspace{20px} \displaystyle \int_{-{\infty}}^{\infty} f(x)dx = 1$

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f(x) \geq 0, \hspace{20px} \int_{-{\infty}}^{\infty} f(x)dx = 1

このとき、確率変数 $X$ について、下のように表現できる。

$P(a \leq x \leq b) =\displaystyle \int_a^b f(x)$

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P(a \leq x \leq b) = \int_a^b f(x)dx