練習問題（19. 母平均の区間推定（母分散既知））

日本人男性100人をランダムに選んで身長を測定したところ、平均値は172cmであった。日本人男性の平均身長の95％信頼区間を求めよ。ただし、日本人男性の身長の母分散は $\sigma^2=5.5^2$ であるとし、日本人男性の身長は正規分布に従うものとする。

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答え閉じる: 標準正規分布における上側2.5％点は1.96であることから、信頼区間は次のようになります。

$\displaystyle 172-1.96 \times \sqrt{\frac{5.5^2}{100}} \leq \mu \leq 172+1.96 \times \sqrt{\frac{5.5^2}{100}}$

$\displaystyle 170.9 \leq \mu \leq 173.1$

日本人男性100人をランダムに選んで体重を測定したところ、平均値は67kgであった。日本人男性の平均体重の90％信頼区間を求めよ。ただし、日本人男性の体重の母分散は $\sigma^2=9.0^2$ であるとし、日本人男性の体重は正規分布に従うものとする。

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答え閉じる: 標準正規分布における上側5％点は1.64であることから、信頼区間は次のようになります。

$\displaystyle 67-1.64 \times \sqrt{\frac{9.0^2}{100}} \leq \mu \leq 67+1.64 \times \sqrt{\frac{9.0^2}{100}}$

$\displaystyle 65.5 \leq \mu \leq 68.5$

日本人女性400人をランダムに選んで身長を測定したところ、平均値は158cmであった。平均身長の95％信頼区間を求めよ。ただし、日本人女性の身長の母分散は $\sigma^2={5.3}^2$ であるとし、日本人女性の身長は正規分布に従うものとする。

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答え閉じる: 標準正規分布における上側2.5％点は1.96であることから、信頼区間は次のようになります。

$\displaystyle 158-1.96 \times \sqrt{\frac{5.3^2}{400}} \leq \mu \leq 158+1.96 \times \sqrt{\frac{5.3^2}{400}}$

$\displaystyle 157.5 \leq \mu \leq 158.5$

日本人女性100人をランダムに選んで体重を測定したところ、平均値は49kgであった。日本人女性の平均体重の99％信頼区間を求めよ。ただし、日本人女性の体重の母分散は $\sigma^2=6.0^2$ であるとし、日本人女性の体重は正規分布に従うものとする。

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答え閉じる: 標準正規分布における上側0.5％点は2.58であることから、信頼区間は次のようになります。

$\displaystyle 49-2.58 \times \sqrt{\frac{6.0^2}{100}} \leq \mu \leq 49+2.58 \times \sqrt{\frac{6.0^2}{100}}$

$\displaystyle 47.5 \leq \mu \leq 50.5$

区間推定について述べられた文章のうち、正しいものを選べ。

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◯：正しいです。信頼係数は自由に設定することができます。一般的には90%、95%、99%が使われます。
×：母平均の95%信頼区間は「母集団から標本を取ってきて、その平均から95%信頼区間を求める、という作業を100回やったときに、95回はその区間の中に母平均が含まれる」と解釈できます。
×：信頼係数が小さいほど、信頼区間の幅は狭くなります。
×：サンプルサイズが大きいほど、信頼区間の幅は狭くなります。