Step1. 基礎編
25. さまざまな検定

25-4. 適合度の検定

2つのカテゴリーに属するデータをそれぞれのカテゴリーで同時に分類し、その度数を集計したものをクロス集計表といいます。クロス集計表については5-3章で既に学びました。調査によって得られたクロス集計表がある場合、実測度数がある特定の分布に適合（一致）するかどうかを検定することを適合度の検定といいます。適合度の検定では、カイ二乗分布を用いて検定を行います。

例題：

日本人の血液型の分布はA型が40%、O型が30%、B型が20%、AB型が10%であると言われています。ランダムに選ばれた100人の血液型について次のようなデータが得られた時、このデータは日本人の血液型の分布と同じといえるでしょうか。

血液型	A型	O型	B型	AB型	計
度数	55	22	16	7	100

日本人の血液型分布と完全に一致していた場合、「理論値」のようになると考えられます。そこで、適合度検定ではこの「理論値」からの「実測値」のズレを算出し、検定を行います。

仮説を立てる

帰無仮説 $H_{0}$ は「調査した血液型分布は日本人の血液型分布と一致する」とします。したがって、対立仮説 $H_{1}$ は「調査した血液型分布は日本人の血液型分布と一致しない」となります。

血液型	A型	O型	B型	AB型	計
実測値	55	22	16	7	100
理論値	40	30	20	10	100

有意水準を設定する

$\alpha=0.05$ とします。

適切な検定統計量を決める

適合度検定ではカイ二乗分布に従うカイ二乗統計量（＝カイ二乗値 $\chi^{2}$ ）使います。カイ二乗値は次のように求めます。

①「理論値」からの「実測値」のズレを2乗したものを、「理論値」の値で割る

血液型	A型	O型	B型	AB型	計
実測値	55	22	16	7	100
理論値	40	30	20	10	100
ズレ	$\displaystyle \frac{(55-40)^{2}}{40}$	$\displaystyle \frac{(22-30)^{2}}{30}$	$\displaystyle \frac{(16-20)^{2}}{20}$	$\displaystyle \frac{(7-10)^{2}}{10}$	-

②ズレの和をとる

血液型	A型	O型	B型	AB型	計
実測値	55	22	16	7	100
理論値	40	30	20	10	100
ズレ	$\displaystyle \chi^{2} = \frac{(55-40)^{2}}{40} + \frac{(22-30)^{2}}{30} + \frac{(16-20)^{2}}{20} + \frac{(7-10)^{2}}{10} = 9.458$

この結果より、カイ二乗値は $\chi^{2}$ =9.458となります。

棄却ルールを決める

この検定で使用する分布は自由度「4-1=3」の「カイ二乗分布」です。また、適合度検定は上側P値（右側P値）を参照します。統計数値表から $\chi_{0.05}^2(3)$ の値を読み取ると「7.815」となっています。

	$\alpha$
v	0.99	0.975	0.95	0.9	0.1	0.05	0.025	0.01
1	0.000	0.001	0.004	0.016	2.706	3.841	5.024	6.635
2	0.020	0.051	0.103	0.211	4.605	5.991	7.378	9.210
3	0.115	0.216	0.352	0.584	6.251	7.815	9.348	11.345
4	0.297	0.484	0.711	1.064	7.779	9.488	11.143	13.277
5	0.554	0.831	1.145	1.610	9.236	11.070	12.833	15.086

検定統計量を元に結論を出す

次の図は自由度3のカイ二乗分布を表したものです。 $\chi^{2}$ =9.458は図の矢印の部分に該当します。矢印は棄却域に入っていることから、「有意水準5%において、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する」という結果になります。つまり「調査した血液型分布は日本人の血液型分布と一致しない」と結論づけられます。