Step1. 基礎編
21. 母比率の区間推定

21-2. 母比率の信頼区間の求め方2

例題1：

テレビ番組の視聴に関する街頭アンケートを行いました。100人にアンケートを行った結果、A番組を見ている人は10%でした。A番組の視聴率の95％信頼区間はいくらでしょうか。

	A番組を見た	A番組を見ていない
人数	10人	90人
割合	10%	90%

この問題ではサンプルサイズは100人なので、n＝100です。また、A番組の視聴率 $p$ の推定値 $\widehat{p}$ は、 $\widehat{p}$ =10%=0.1となります。これらの値を区間推定の式に代入します。

$\displaystyle \widehat{p}-1.96 \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}} \leq p \leq \widehat{p} + 1.96 \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}$

$\displaystyle 0.1-1.96 \times \sqrt{\frac{0.1(1-0.1)}{100}} \leq p \leq 0.1 + 1.96 \times \sqrt{\frac{0.1(1-0.1)}{100}}$

$\displaystyle 0.041 \leq p \leq 0.159$

以上の計算から、A番組の視聴率 $p$ の95％信頼区間は4.1％から15.9％であると求められました。ちなみに、A番組を見ていない人の割合 $p'=1-p$ の95%信頼区間は次のように求められます。 $\widehat{p'}=1-\widehat{p}$ =90%=0.9です。

$\displaystyle 0.9-1.96 \times \sqrt{\frac{0.9(1-0.9)}{100}} \leq p \leq 0.9 + 1.96 \times \sqrt{\frac{0.9(1-0.9)}{100}}$

$\displaystyle 0.841 \leq p \leq 0.959$

この式から分かるように「A番組の視聴率 $p$ の95%信頼区間の幅」と「A番組を見ていない人の割合 $p'$ の信頼区間の幅」は等しくなります。

例題2：

無作為に抽出した男性400人に対して新製品のお菓子を食べてもらい、「おいしかった」か「おいしくなかった」かのいずれかを回答してもらいました。その結果、100人が「おいしかった」と回答しました。全国の男性のうち、このお菓子を「おいしい」と評価する割合の95％信頼区間はいくらでしょうか。

	おいしかった	おいしくなかった
人数	100人	300人
割合	25%	75%

この問題ではサンプルサイズは400人なので、n＝400です。また、100人が「おいしかった」と評価したので、男性のうちこのお菓子を「おいしい」と評価する割合 $p$ の推定値 $\widehat{p}$ は、 $\displaystyle\widehat{p}=\frac{100}{400}=0.25$ となります。これらの値を区間推定の式に代入します。

$\displaystyle \widehat{p}-1.96 \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}} \leq p \leq \widehat{p} + 1.96 \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}$

$\displaystyle 0.25-1.96 \times \sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{400}} \leq p \leq 0.25 + 1.96 \times \sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{400}}$