Step1. 基礎編
15. いろいろな確率分布3

15-3. 連続一様分布１

15-2章では離散一様分布について説明しましたが、この章では連続一様分布について説明します。確率変数 $X$ がどのような値でも、その時の確率密度関数 $f(x)$ が一定の値をとる分布のことを連続一様分布といいます。コンピュータを使うと、連続一様分布の乱数を簡単に得ることが出来ます。確率変数 $X$ が $a \leq X \leq b$ における連続一様分布に従うとき、確率密度関数は次のように表します。

$\displaystyle f(x)=\frac {1}{b-a}~~~(a \leq X \leq b)$

$\displaystyle f(x)=0~~~(X < a, X > b)$

例えば、確率変数 $X$ が $1 \leq X \leq 3$ における連続一様分布に従うときについて考えてみます。 $1 \leq X \leq 3$ の範囲では $f(x)= \displaystyle \frac{1}{3-1} = \displaystyle \frac{1}{2}$ となり、それ以外の範囲では $f(x)=0$ となります。したがって、確率密度関数は次のようなグラフになります。

$X$ が連続型の一様分布 $f(x)$ に従っている時、 $a \leq X \leq b$ における期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ は次のようになります。

$\displaystyle E(X)=\frac {a+b}{2}$

$\displaystyle V(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}$

■累積分布関数

確率密度関数 $f(t)$ が次の式で表される場合の累積分布関数 $F(x)$ を算出してみます。

$\displaystyle f(x)=\frac {1}{b-a}~~~(a \leq X \leq b)$

$\displaystyle f(x)=0~~~(X < a, X > b)$

$x < a$ のとき

$-\infty \leq X < x$ では、 $f(t)=0$ なので $F(x)=0$ となります。

$\displaystyle F(x)=P(-\infty \leq X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{-\infty}^{x}0dt=0$

$a \leq x < b$ のとき

求める範囲は $-\infty \leq X < x$ ですが、 $-\infty \leq X < a$ では $f(t)=0$ なので $F(x)=0$ となります。したがって、 $a \leq X \leq x$ の範囲のみを考えればよいことになります。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle F(x)&=&P(-\infty \leq X \leq x)=P(a \leq X \leq x)=\int_{a}^{x}f(t)dt \\ &=&\int_{a}^{x} \frac{1}{b-a}dt= \frac{1}{b-a} \times (x-a) = \frac{x-a}{b-a} \end{eqnarray*}$

$x \ge b$ のとき

$X > b$ では、 $f(t)=0$ なので $F(x)=0$ となります。したがって、 $a \leq X \leq b$ の範囲のみを考えればよいことになります。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle F(x)&=&P(-\infty \leq X \leq x)=P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b}f(t)dt \\ &=&\int_{a}^{b} \frac{1}{b-a}dt= \frac{1}{b-a} \times (b-a) = 1 \end{eqnarray*}$