13. いろいろな確率分布1

練習問題（13. いろいろな確率分布1）

さいころを10回振るとき、6の目が6回出る確率を求めよ。

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さいころを1回振って、「6の目が出る事象」と「それ以外の目が出る事象」に分けることが出来るので、この確率は二項分布を用いて計算できます。6の目が出る確率は $\displaystyle \frac{1}{6}$ であるので、6の目が出る回数を $X$ とすると、 $X$ は $B \left( 10,\displaystyle \frac{1}{6} \right)$ に従うと考えられます。よって、この確率は次のように計算できます。

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{P(X=6)= {}_{10} \mathrm{C}_6 \left( \displaystyle \frac{1}{6} \right)^6 \left( \displaystyle \frac{5}{6} \right)^4} \\ &=&\displaystyle \frac{7 \cdot 5^5}{6^9} =0.00217 \cdots \\ \end{eqnarray*}$

なお、この計算で実際に値を求めるのは暗算では難しいので、Excelの関数を使用すると簡単に計算できます。この場合、Binom.DIST関数を使用して、次のように入力すると確率を計算できます。

=BINOM.DIST(6,10,1/6,FALSE)

打率が3割のバッターが、5打席中3打席以上でヒットを打つ確率を求めよ。

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「ヒットを打つ」か「打たない」かのいずれかの事象しかとらないため、この確率は二項分布を用いて計算できます。ヒットを打つ確率は3割＝0.3であるので、ヒットを打つ回数を $X$ とすると、 $X$ は $B \left( 5,0.3 \right)$ に従うと考えられます。

5打席中3打席でヒットを打つ確率

$P(X=3)= {}_{5} \mathrm{C}_3 \left( 0.3 \right)^3 \left( 1-0.3 \right)^2 =0.1323$

5打席中4打席でヒットを打つ確率

$P(X=4)= {}_{5} \mathrm{C}_4 \left( 0.3 \right)^4 \left( 1-0.3 \right)^1 =0.0284$

5打席中5打席でヒットを打つ確率

$P(X=5)= {}_{5} \mathrm{C}_5 \left( 0.3 \right)^5 \left( 1-0.3 \right)^0 =0.0024$

5打席中3打席以上ヒットを打つ確率は次のようになります。

$0.1323+0.0284+0.0024=0.1631$

あるチョコレート菓子には当たりくじがついており、40個に1個の割合で当たりが入っていることが知られている。また、当たりくじを5つ集めると景品がもらえる。このチョコレート菓子を100個買ったときに、当たりくじが5つ含まれる確率はいくらか。ただし、当たりくじが含まれる数 $X$ はポアソン分布に従うものとする。

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答え：閉じる: ポアソン分布を用いて確率を計算します。 $\lambda=np=100 \times \displaystyle\frac{1}{40}=2.5$ 、 $k=5$ を使います。

$P(X=5)=\displaystyle \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda ^k}{k!} = \displaystyle \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^5}{5!} =0.0668$

ある気まぐれな歌手について考える。彼は自身のコンサートでアンコールが起こっても、それに応えてもう一曲歌うのは稀で、およそ5%程度の確率でしか歌わないと言われている。彼が年間で40公演するとき、アンコールに応えて歌ってくれる公演数が3以上となる確率を求めよ。

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■二項分布を用いる場合

求める確率は、「アンコールに応えてくれる公演数が2以下となる事象」の余事象であることから、「0回応える確率」、「1回応える確率」、「2回応える確率」の和を1から引くことで計算できます。アンコールに応える回数を $X$ とすると $X$ は二項分布 $B(40,0.05)$ に従うことから、各々の確率は次のように計算できます。

$P(X=0)= {}_{40} \mathrm{C}_0 \left( \displaystyle \frac{1}{20} \right)^0 \left( \displaystyle \frac{19}{20} \right)^{40}=0.1285 \cdots \\ P(X=1)= {}_{40} \mathrm{C}_1 \left( \displaystyle \frac{1}{20} \right)^1 \left( \displaystyle \frac{19}{20} \right)^{39}=0.2706 \cdots \\ P(X=2)= {}_{40} \mathrm{C}_2 \left( \displaystyle \frac{1}{20} \right)^2 \left( \displaystyle \frac{19}{20} \right)^{38}=0.2777 \cdots$

これらの和を1から引いたものが、求める確率となります。

$1- \left( 0.1285+0.2706+0.2777 \right) = 0.3233$

■ポアソン分布を用いる場合

この確率は、ポアソン分布を用いても計算できます。 $\lambda=np=$ 40公演×5% $=2$ から、平均が2のポアソン分布で近似できると考えられます。

$P(X=0)=\displaystyle \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} =0.1353 \cdots\\ P(X=1)=\displaystyle \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!} =0.2707 \cdots\\ P(X=2)=\displaystyle \frac{e^{-2} \cdot 2^2}{2!} =0.2707 \cdots\\$