Step1. 基礎編
12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散

12-6. 分散の性質

確率変数の分散には4つの重要な性質があります。これらの性質は、離散型確率変数、連続型確率変数いずれにおいても成立します。さいころを投げる場合の出る目（＝確率変数 $X$ ）を例として、これらの性質について解説します。なお12-5章で計算したように、ここでは $V(X)= \displaystyle \frac{35}{12}$ となることを用います。

1. V(C)=0

定数の分散は0になります。

例：すべての目が4であるさいころを投げる場合、出る目の分散は「0」になります。

$V(4)=0$

2. V(X+C)=V(X)

確率変数に定数を足した場合の分散は、元の確率変数の分散に等しくなります。

例：さいころを投げて出る目に3を足す場合の分散は、元の確率変数の分散である $V(X)=\displaystyle \frac{35}{12}$ になります。

$V(X+3)=V(X)+V(3)=V(X)+0=V(X)$

3. V(kX)=k²V(X)

確率変数を定数倍したものの分散は、元の確率変数の分散を定数の2乗倍したものになります。

例：さいころを投げて出る目を4倍する場合の分散は、元の確率変数の分散 $V(X)=\displaystyle \frac{35}{12}$ に4の2乗である16を掛けた $\displaystyle \frac{140}{3}$ になります。

$V(4 \times X)= 4^2 \times V(X)=16 \times V(X)=16 \times \displaystyle \frac{35}{12}=\displaystyle \frac{140}{3}$

4. V(X+Y)=V(X)+V(Y)（XとYが独立である場合）

独立な確率変数について、確率変数の和の分散は、それぞれの確率変数の分散の和に等しくなります。

例：異なるさいころAとBを投げて両方の出る目を足す場合の分散は、さいころAの分散 $\displaystyle \frac{35}{12}$ とさいころBの分散 $\displaystyle \frac{35}{12}$ の和である $\displaystyle \frac{35}{6}$ になります。