Step1. 基礎編
12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散

12-3. 確率変数の期待値

確率変数の期待値は、確率変数がとる値とその値をとる確率の積を全て足し合わせたもので、確率変数の平均値を表します。期待値は分布の特徴を掴むために用いられる情報の一つであり、Expectation（期待）の頭文字の「 $E$ 」を用いて表します。例えば、確率変数 $X$ の期待値は「 $E(X)$ 」と表します。

■離散型確率変数の場合

離散型確率変数の期待値の場合の期待値は、確率変数 $X$ がとり得るそれぞれの値 $x$ に対応する確率 $p$ を掛け、掛けた結果を全て足し合わせることで算出できます。

$X$	$x_1$	$x_2$	・・・	$x_{n-1}$	$x_n$
$P(X)$	$p_{1}$	$p_{2}$	・・・	$p_{n-1}$	$p_{n}$

$E(X)=\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \times p_i$

例えばさいころを投げて出る目を確率変数 $X$ とするとき、期待値は次のようになります。

さいころの出る目 ( $X$ )	1	2	3	4	5	6
確率 ( $P(X)$ )	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&\displaystyle \sum_{i=1}^6 x_i p_i \\ &=& 1\times \displaystyle \frac{1}{6} +2\times \displaystyle \frac{1}{6}+3\times \displaystyle \frac{1}{6}+4\times \displaystyle \frac{1}{6}+5\times \displaystyle \frac{1}{6}+6\times \displaystyle \frac{1}{6} \\ &=&\displaystyle \frac{7}{2} =3.5 \end{eqnarray*}$

■連続型確率変数の場合

連続型確率変数の場合の期待値は、積分によって計算することができます。

$E(X)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx$

例えば確率密度関数 $f(x)=\displaystyle \frac{1}{6}$ において、確率変数 $X$ が0から6の範囲をとるとき $(0\leq X\leq 6)$ 、期待値は次のようになります。

$\begin{eqnarray*} E(X)&=& \displaystyle \int_{0}^{6} xf(x)dx \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{6} x \times \displaystyle \frac{1}{6} dx \\ &=&\left[ \displaystyle \frac{x^2}{12} \right]_0^6 \\ &=&3 \end{eqnarray*}$