17. 大数の法則と中心極限定理

練習問題（17. 大数の法則と中心極限定理）

コインを投げ、表が出た割合を計算する。気の遠くなるほど投げ続けた時、表が出た割合はおよそどれくらいになると考えられるか。

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答え閉じる: 大数の法則より、観測したデータから計算した表が出た割合 $\hat{p}$ は、コインで表が出る確率 $p=0.5$ に収束します。よって、表が出た割合は0.5に近づくと考えられます。

平均 $\mu$ 、分散 $\sigma^2$ のある分布に従う、互いに独立なn個の確率変数 $X_i(i=1,2, \cdots n)$ がある。 $Y$ 、 $Z$ を次のように定義するとき、それぞれの分散 $V(Y)$ 、 $V(Z)$ を求めよ。

$\displaystyle Y= \sum_{i=1}^{n} X_i \\ Z= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$

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確率変数の定数倍した場合の分散について次の性質(1)が成り立ちます。また、互いに独立な確率変数の分散について、次の性質(2)が成り立ちます。この2つは分布に関係なく成り立ちます（詳しくは12-6. 分散の性質をご覧ください）。

(1) $\begin{equation*} V(kA)=k^2 V(A) \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} V(A+B)=V(A)+V(B) \end{equation*}$

$Y$ については、性質(2)を用いて次のように計算できます。

$\displaystyle V(Y)=V \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = V(X_1)+V(X_2)+ \cdots + V(X_n) \\ = \sigma^2 + \sigma^2 + \cdots + \sigma^2 =n \sigma^2$

次に $Z$ については、 $Z=\displaystyle \frac{1}{n}Y$ であることから、性質(1)を用いて次のように計算できます。

$\displaystyle V(Z)=V\left( \frac{1}{n}Y \right) =\frac{1}{n^2} V(Y)= \frac{n \sigma ^2}{n^2}= \frac{ \sigma ^2}{n}$

どのような分布に従うか不明であるが、平均 $\mu$ 、分散は $\sigma^2$ の分布に従う確率変数 $X$ がある。この確率変数n個の和を標準化したものを $Y_n$ とおく。nが非常に大きい場合、 $Y_n$ はどのような分布に従うか。なお、 $Y_n$ は次のように計算されるものとする。